Fundamentos de análisis cuantitativo

Fundamentos de análisis cuantitativo · 28 oct 2026

Wed, 28 Oct 2026 00:00:00 +0000

Relacionado

Continuación de fac_261014 (productos notables y factorización).

Factorización II

3) Diferencia de cuadrados

$$\text{resta} \quad \longrightarrow \quad x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \quad \longleftarrow \quad \text{números elevados a la } 2$$

Ejemplos:

Fundamentos de análisis cuantitativo · 21 oct 2026

Wed, 21 Oct 2026 00:00:00 +0000

Producto de binomios conjugados

$$(a - b)(a + b)$$

(Binomios conjugados)

Ejemplos de expresiones

$$(x - 2y)(x + 2y)$$$$\left(-\frac{1}{3}x + m\right)\left(-\frac{1}{3}x - m\right)$$

Fórmula y Propiedad

$$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$$

Ejemplo de Operación

$$(7x - 2y)(7x + 2y) = (7x)^2 - (2y)^2 = 7^2x^2 - 2^2y^2 = 49x^2 - 4y^2$$

Relación entre Multiplicar y Factorizar

graph LR
A["(7x - 2y)(7x + 2y)"] -->|Multiplicar| B["49x^2 - 4y^2"]
B -->|Factorizar| A

Actividad

Realizar las siguientes multiplicaciones:

Fundamentos de análisis cuantitativo · Guías en PDF

Wed, 14 Oct 2026 00:00:00 +0000

Guías y cheatsheets en PDF.

Guía 1 de matemáticas (PDF)
Guía de conjuntos y números complejos (PDF)
Cheatsheet de conjuntos (PDF)
Tarea de la guía 1 (PDF)
Tarea de la guía 1 (original) (PDF)

Fundamentos de análisis cuantitativo · 14 oct 2026

Wed, 14 Oct 2026 00:00:00 +0000

Relacionado

Se continúa en fac_261028 (factorización II).

Productos notables y Factorización

Productos notables

Multiplicación
Polinomios

Área de un cuadrado:

$$A = x \cdot x = x^2$$

Volumen de un cubo:

$$V = x \cdot x \cdot x = x^3$$

Ejemplo: multiplicación de polinomios

$$ \begin{aligned} (3x^2 + 2x + 5)(4x + 2) &= 3x^2 \cdot 4x + 3x^2 \cdot 2 + 2x \cdot 4x + 2x \cdot 2 + 5x \cdot 4 + 5 \cdot 2 \\ &= 12x^{2+1} + 6x^2 + 8x^{1+1} + 4x + 20x + 10 \\ &= 12x^3 + \underbrace{6}_{\text{coef.}}x^2 + \underbrace{8}_{\text{coef.}}x^2 + 4x + 20x + 10 \\ &= 12x^3 + 14x^2 + 24x + 10 \end{aligned} $$

Se suman los términos semejantes sumando sus coeficientes.

Fundamentos de análisis cuantitativo · 10 oct 2026

Sat, 10 Oct 2026 00:00:00 +0000

Raices de números complejos

Teorema de De Moivre y Potencias de Binomios

Teorema: Si $z = r \operatorname{cis}(\theta)$ y $n \in \mathbb{Z}$, entonces

$$z^n = r^n \operatorname{cis}(n\theta)$$

Ejemplos y Explicaciones

1. Cuadrado de un binomio: $(2+3i)^2$

$$(2+3i)^2 = (2+3i)(2+3i) = (2)^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3i + (3i)^2 = 4 + 12i + 9(-1) = -5 + 12i$$

Fórmula utilizada: Binomio al cuadrado $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Propiedad clave: Se sustituye $i^2 = -1$ para simplificar el término independiente resultante ($9(-1) = -9$) y agrupar con la parte real.

Fundamentos de análisis cuantitativo · 7 oct 2026

Wed, 07 Oct 2026 00:00:00 +0000

Relacionado

Tarea de esta clase: fac_tarea_07.

Resumen de la forma polar: fac_cheatsheet_forma_polar y fac_cheatsheet_operaciones_polar.

Apunte de clase: Forma polar de un número complejo

Sistemas de ecuaciones con números complejos

Ejemplo: resolver el sistema

$$ \begin{aligned} i\,z_1+(8+i)\,z_2 &= -3+4i \\ (1+i)\,z_1-2i\,z_2 &= 0 \end{aligned} $$

Se puede resolver con cualquier método visto en prepa: suma o resta, igualación, sustitución, gráfica, regla de Cramer e incluso eliminación gaussiana. Aquí se usa la regla de Cramer.

Regla de Cramer

$$ \Delta=\begin{vmatrix} i & 8+i \\ 1+i & -2i \end{vmatrix} =(i)(-2i)-(8+i)(1+i)=2-(8+8i+i-1)=2-(7+9i)=-5-9i $$$$ \Delta_{z_1}=\begin{vmatrix} -3+4i & 8+i \\ 0 & -2i \end{vmatrix} =(-3+4i)(-2i)-(0)(8+i)=6i+8=8+6i $$$$ \Delta_{z_2}=\begin{vmatrix} i & -3+4i \\ 1+i & 0 \end{vmatrix} =(i)(0)-(1+i)(-3+4i)=-(-3+4i-3i-4)=-(-7+i)=7-i $$

Corrección de signo en el determinante
En la pizarra y en mi apunte original quedó $\Delta=-5+9i$, pero $2-(7+9i)=-5-9i$. Con el signo correcto cambian las soluciones; se comprueban sustituyendo en las dos ecuaciones.

Fundamentos de análisis cuantitativo · tarea 07

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

#tarea #entrega-2026-10-10

Relacionado

Se asignó en la clase fac_261007 (sección «Complemento de la actividad»); allí está el método y los ejemplos resueltos de forma polar.

Apoyo: fac_cheatsheet_forma_polar (cuadrantes y argumento).

Complemento de la actividad para el sábado.

Construya la forma polar de los siguientes números complejos.

2.1) $z = 2 + 3i$

2.2) $z = -2$

2.3) $z = -2 + 3i$

2.4) $z = 2 - 3i$

2.5) $z = -i$

Fundamentos de análisis cuantitativo · cheatsheet operaciones polar

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

Cheatsheet: Números complejos en forma polar

1. Formas de escribir un complejo

Forma	Notación	Ejemplo con $z = 1 + i$
Binómica (rectangular)	$z = a + bi$	$1 + i$
Trigonométrica	$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$	$\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$
Polar (cis)	$z = r,\operatorname{cis}(\theta)$	$\sqrt2,\operatorname{cis}!\left(\frac{\pi}{4}\right)$
Exponencial (Euler)	$z = r,e^{i\theta}$	$\sqrt2,e^{i\pi/4}$
Abreviada	$z = r_\theta$ o $r\angle\theta$	$\sqrt2\angle 45^\circ$

$$ \operatorname{cis}(\theta) = \cos\theta + i\sin\theta = e^{i\theta} $$

$r = \lvert z\rvert$: módulo (distancia al origen), siempre $r \ge 0$.
$\theta = \arg(z)$: argumento (ángulo medido desde el eje real positivo, sentido antihorario).

2. Conversiones

Binómica → polar

$$ r = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad \theta = \tan^{-1}!\left(\frac{b}{a}\right) \ \text{(corregido según el cuadrante)} $$

Polar → binómica

$$ a = r\cos\theta, \qquad b = r\sin\theta $$

Corrección del ángulo por cuadrante

La calculadora da $\tan^{-1}!\left(\frac{b}{a}\right)$ solo entre $-90^\circ$ y $90^\circ$. Sea $\alpha = \tan^{-1}!\left\lvert\frac{b}{a}\right\rvert$ (ángulo de referencia, positivo):

Fundamentos de análisis cuantitativo · cheatsheet forma polar

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

Cheatsheet: forma polar de números complejos

La idea

Un número complejo $z = a + bi$ es un punto en el plano. La forma polar lo describe por distancia y dirección:

$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\,e^{i\theta}$$

$r$ = qué tan lejos está del origen (módulo)
$\theta$ = hacia dónde apunta, medido desde el eje real positivo, en sentido antihorario (argumento)

Paso 1: Ubicar el punto con los signos

Los números dicen cuánto caminar; los signos dicen hacia dónde.

Fundamentos de análisis cuantitativo · cheatsheet conjuntos

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

Cheatsheet: Teoría de conjuntos

1. Notación básica

Símbolo	Significado	Ejemplo
$\in$	pertenece a	$2 \in \lbrace 1,2,3\rbrace$
$\notin$	no pertenece a	$5 \notin \lbrace 1,2,3\rbrace$
$\lbrace \ \rbrace$ o $\varnothing$	conjunto vacío	$\lbrace x \in \mathbb{R} : x^2 = -1\rbrace = \varnothing$
$U$	conjunto universo	todo lo que se está considerando
$\lvert A \rvert$ o $n(A)$	cardinalidad (número de elementos)	$\lvert\lbrace a,b,c\rbrace \rvert = 3$
$:$ o $\mid$	“tal que”	$\lbrace x : x > 0\rbrace$
$\forall$ / $\exists$	para todo / existe	$\forall x \in A,\ \exists y \in B$

Formas de describir un conjunto

Por extensión (listando): $A = \lbrace 2, 4, 6, 8\rbrace$
Por comprensión (con una regla): $A = \lbrace x \in \mathbb{N} : x \text{ es par y } x < 10\rbrace$

Conjuntos numéricos

$$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} $$

Símbolo	Nombre	Elementos
$\mathbb{N}$	naturales	$\lbrace 1, 2, 3, \dots\rbrace$ (a veces incluye el $0$)
$\mathbb{Z}$	enteros	$\lbrace \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\rbrace$
$\mathbb{Q}$	racionales	$\left\lbrace \frac{p}{q} : p, q \in \mathbb{Z},\ q \neq 0\right\rbrace$
$\mathbb{R}$	reales	racionales + irracionales ($\pi$, $\sqrt{2}$, …)
$\mathbb{C}$	complejos	$\lbrace a + bi : a, b \in \mathbb{R}\rbrace$

2. Relaciones entre conjuntos

Símbolo	Significado	Definición
$A \subseteq B$	$A$ es subconjunto de $B$	$\forall x,(x \in A \Rightarrow x \in B)$
$A \subset B$	subconjunto propio	$A \subseteq B$ y $A \neq B$
$A = B$	igualdad	$A \subseteq B$ y $B \subseteq A$
$A \cap B = \varnothing$	disjuntos	no comparten elementos
$\mathcal{P}(A)$	conjunto potencia	conjunto de todos los subconjuntos de $A$

Datos clave: