Fundamentos de análisis cuantitativo · tarea 08 respuestas

#tarea

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Enunciado: fac_tarea_08
Explicación simple: fac_cheatsheet_factorizacion
Aún más simple: fac_cheatsheet_factorizacion_simple
Clase: fac_261028

Reglas generales

Patrón común: $x^n \mp y^n$ se factoriza con una suma de $n$ términos donde el exponente de $x$ baja y el de $y$ sube.

1) $x^n - y^n$ con $n$ par

Se divide entre $x-y$ y entre $x+y$ (ambos factores).

$$x^n - y^n = (x-y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + \dots + y^{n-1})$$

$$x^n - y^n = (x+y)(x^{n-1} - x^{n-2}y + \dots - y^{n-1})$$

Como $n$ es par, también es diferencia de cuadrados: $x^n - y^n = (x^{n/2} - y^{n/2})(x^{n/2} + y^{n/2})$.

Ejemplos:

$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$
$x^4 - y^4 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x-y)(x+y)(x^2+y^2)$
$x^6 - y^6 = (x^3-y^3)(x^3+y^3) = (x-y)(x^2+xy+y^2)(x+y)(x^2-xy+y^2)$

2) $x^n - y^n$ con $n$ impar

Se divide solo entre $x-y$.

$$x^n - y^n = (x-y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 + \dots + y^{n-1})$$

Ejemplos:

$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$
$x^5 - y^5 = (x-y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4)$
$x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$

3) $x^n + y^n$ con $n$ par

No se divide entre $x+y$ ni entre $x-y$. Con números reales no se factoriza si $n$ es potencia de 2; con complejos sí:

$$x^n + y^n = (x^{n/2} + i\,y^{n/2})(x^{n/2} - i\,y^{n/2})$$

Si $n = 2^k \cdot m$ con $m$ impar mayor que 1, se factoriza como suma de potencias impares sobre $x^{2^k}$ y $y^{2^k}$.

Ejemplos:

$x^2 + y^2 = (x+iy)(x-iy)$
$x^4 + y^4 = (x^2 + iy^2)(x^2 - iy^2)$
$x^6 + y^6 = (x^2+y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$ (con $m=3$, suma de cubos)

4) $x^n + y^n$ con $n$ impar

Se divide solo entre $x+y$. Los signos se alternan.

$$x^n + y^n = (x+y)(x^{n-1} - x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 - \dots + y^{n-1})$$

Ejemplos:

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$
$x^5 + y^5 = (x+y)(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4)$
$27x^3 + 8 = (3x+2)(9x^2 - 6x + 4)$

Trinomios

Forma $x^2 + bx + c$: dos números que multiplicados den $c$ y sumados den $b$

$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$ → $(1)(2)=2$, $1+2=3$
$m^2 - 11m + 30 = (m-5)(m-6)$ → $(-5)(-6)=30$, $-5-6=-11$
$n^2 - 7n + 12 = (n-3)(n-4)$ → $(-3)(-4)=12$, suma $-7$
$y^2 - 15y + 56 = (y-7)(y-8)$ → $(-7)(-8)=56$, suma $-15$
$x^2 + 7x + 6 = (x+1)(x+6)$ → $(1)(6)=6$, suma $7$
$x^2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4)$ → $(3)(4)=12$, suma $7$
$a^2 + 10a + 24 = (a+4)(a+6)$ → $(4)(6)=24$, suma $10$
$b^2 - 7b + 10 = (b-2)(b-5)$ → $(-2)(-5)=10$, suma $-7$
$m^2 - 9m + 20 = (m-4)(m-5)$ → $(-4)(-5)=20$, suma $-9$
$x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$ → $(-1)(-4)=4$, suma $-5$

Forma $ax^2 + bx + c$: método de la clase (cambio de variable)

Se multiplica y divide por $a$, se cambia $ax = w$, se factoriza el numerador como $w^2 + bw + ac$ y se simplifica.

$5m^2 + 13m - 6$

$$\frac{5(5m^2 + 13m - 6)}{5} = \frac{(5m)^2 + 13(5m) - 30}{5}$$

Cambio de variable: $w = 5m$ → $w^2 + 13w - 30$

$(-2)(15) = -30$ y $-2 + 15 = 13$ → $(w + 15)(w - 2)$

$$= \frac{(5m + 15)(5m - 2)}{5} = \frac{5(m + 3)(5m - 2)}{5} = (m + 3)(5m - 2)$$

$3a^2 - 5a - 2$

$$\frac{3(3a^2 - 5a - 2)}{3} = \frac{(3a)^2 - 5(3a) - 6}{3}$$

Cambio de variable: $w = 3a$ → $w^2 - 5w - 6$

$(-6)(1) = -6$ y $-6 + 1 = -5$ → $(w - 6)(w + 1)$

$$= \frac{(3a - 6)(3a + 1)}{3} = \frac{3(a - 2)(3a + 1)}{3} = (a - 2)(3a + 1)$$

$6y^2 + 7y + 2$

$$\frac{6(6y^2 + 7y + 2)}{6} = \frac{(6y)^2 + 7(6y) + 12}{6}$$

Cambio de variable: $w = 6y$ → $w^2 + 7w + 12$

$(3)(4) = 12$ y $3 + 4 = 7$ → $(w + 3)(w + 4)$

$$= \frac{(6y + 3)(6y + 4)}{6} = \frac{3(2y + 1) \cdot 2(3y + 2)}{6} = (2y + 1)(3y + 2)$$

$2x^2 + 3x - 2$

$$\frac{2(2x^2 + 3x - 2)}{2} = \frac{(2x)^2 + 3(2x) - 4}{2}$$

Cambio de variable: $w = 2x$ → $w^2 + 3w - 4$

$(4)(-1) = -4$ y $4 - 1 = 3$ → $(w + 4)(w - 1)$

$$= \frac{(2x + 4)(2x - 1)}{2} = \frac{2(x + 2)(2x - 1)}{2} = (x + 2)(2x - 1)$$

$4n^2 + 15n + 9$

$$\frac{4(4n^2 + 15n + 9)}{4} = \frac{(4n)^2 + 15(4n) + 36}{4}$$

Cambio de variable: $w = 4n$ → $w^2 + 15w + 36$

$(12)(3) = 36$ y $12 + 3 = 15$ → $(w + 12)(w + 3)$

$$= \frac{(4n + 12)(4n + 3)}{4} = \frac{4(n + 3)(4n + 3)}{4} = (n + 3)(4n + 3)$$

$20x^2 + x - 1$

$$\frac{20(20x^2 + x - 1)}{20} = \frac{(20x)^2 + (20x) - 20}{20}$$

Cambio de variable: $w = 20x$ → $w^2 + w - 20$

$(5)(-4) = -20$ y $5 - 4 = 1$ → $(w + 5)(w - 4)$

$$= \frac{(20x + 5)(20x - 4)}{20} = \frac{5(4x + 1) \cdot 4(5x - 1)}{20} = (4x + 1)(5x - 1)$$

$7a^2 - 44a - 35$

$$\frac{7(7a^2 - 44a - 35)}{7} = \frac{(7a)^2 - 44(7a) - 245}{7}$$

Cambio de variable: $w = 7a$ → $w^2 - 44w - 245$

$(-49)(5) = -245$ y $-49 + 5 = -44$ → $(w - 49)(w + 5)$

$$= \frac{(7a - 49)(7a + 5)}{7} = \frac{7(a - 7)(7a + 5)}{7} = (a - 7)(7a + 5)$$

$2y^2 + 5y + 2$

$$\frac{2(2y^2 + 5y + 2)}{2} = \frac{(2y)^2 + 5(2y) + 4}{2}$$

Cambio de variable: $w = 2y$ → $w^2 + 5w + 4$

$(4)(1) = 4$ y $4 + 1 = 5$ → $(w + 4)(w + 1)$

$$= \frac{(2y + 4)(2y + 1)}{2} = \frac{2(y + 2)(2y + 1)}{2} = (y + 2)(2y + 1)$$

$15m^2 - 8m - 12$

$$\frac{15(15m^2 - 8m - 12)}{15} = \frac{(15m)^2 - 8(15m) - 180}{15}$$

Cambio de variable: $w = 15m$ → $w^2 - 8w - 180$

$(-18)(10) = -180$ y $-18 + 10 = -8$ → $(w - 18)(w + 10)$

$$= \frac{(15m - 18)(15m + 10)}{15} = \frac{3(5m - 6) \cdot 5(3m + 2)}{15} = (5m - 6)(3m + 2)$$

$20x^2 + 3x + 2$

$$\frac{20(20x^2 + 3x + 2)}{20} = \frac{(20x)^2 + 3(20x) + 40}{20}$$

Cambio de variable: $w = 20x$ → $w^2 + 3w + 40$

No hay dos enteros que multipliquen $40$ y sumen $3$.
Discriminante: $3^2 - 4(1)(40) = -151 < 0$, así que no se factoriza en los reales.

En los complejos (raíces $x = \frac{-3 \pm i\sqrt{151}}{40}$):

$$20x^2 + 3x + 2 = 20\left(x + \frac{3 - i\sqrt{151}}{40}\right)\left(x + \frac{3 + i\sqrt{151}}{40}\right)$$