Cheatsheet: Números complejos en forma polar
1. Formas de escribir un complejo
| Forma | Notación | Ejemplo con $z = 1 + i$ |
|---|---|---|
| Binómica (rectangular) | $z = a + bi$ | $1 + i$ |
| Trigonométrica | $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ | $\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$ |
| Polar (cis) | $z = r,\operatorname{cis}(\theta)$ | $\sqrt2,\operatorname{cis}!\left(\frac{\pi}{4}\right)$ |
| Exponencial (Euler) | $z = r,e^{i\theta}$ | $\sqrt2,e^{i\pi/4}$ |
| Abreviada | $z = r_\theta$ o $r\angle\theta$ | $\sqrt2\angle 45^\circ$ |
- $r = \lvert z\rvert$: módulo (distancia al origen), siempre $r \ge 0$.
- $\theta = \arg(z)$: argumento (ángulo medido desde el eje real positivo, sentido antihorario).
2. Conversiones
Binómica → polar
$$ r = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad \theta = \tan^{-1}!\left(\frac{b}{a}\right) \ \text{(corregido según el cuadrante)} $$Polar → binómica
$$ a = r\cos\theta, \qquad b = r\sin\theta $$Corrección del ángulo por cuadrante
La calculadora da $\tan^{-1}!\left(\frac{b}{a}\right)$ solo entre $-90^\circ$ y $90^\circ$. Sea $\alpha = \tan^{-1}!\left\lvert\frac{b}{a}\right\rvert$ (ángulo de referencia, positivo):
| Cuadrante | Signos | $\theta$ en $[0, 2\pi)$ |
|---|---|---|
| I | $a>0,\ b>0$ | $\theta = \alpha$ |
| II | $a<0,\ b>0$ | $\theta = \pi - \alpha$ |
| III | $a<0,\ b<0$ | $\theta = \pi + \alpha$ |
| IV | $a>0,\ b<0$ | $\theta = 2\pi - \alpha$ (o $-\alpha$) |
Sobre los ejes (aquí $\tan^{-1}$ no sirve, se lee directo):
| $z$ | $r$ | $\theta$ | Polar |
|---|---|---|---|
| $a > 0$ (real positivo) | $a$ | $0$ | $a,\operatorname{cis}(0)$ |
| $bi,\ b > 0$ | $b$ | $\frac{\pi}{2}$ | $i = 1,\operatorname{cis}!\left(\frac{\pi}{2}\right)$ |
| $a < 0$ (real negativo) | $\lvert a\rvert$ | $\pi$ | $-1 = 1,\operatorname{cis}(\pi)$ |
| $bi,\ b < 0$ | $\lvert b\rvert$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $-i = 1,\operatorname{cis}!\left(\frac{3\pi}{2}\right)$ |
Ejemplo: $z = -1 + \sqrt3,i$ (cuadrante II)
$$ r = \sqrt{1 + 3} = 2, \qquad \alpha = \tan^{-1}(\sqrt3) = \frac{\pi}{3}, \qquad \theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \quad\Longrightarrow\quad z = 2,\operatorname{cis}!\left(\frac{2\pi}{3}\right) $$3. Ángulos notables
| Grados | Radianes | $\cos\theta$ | $\sin\theta$ | $\operatorname{cis}(\theta)$ |
|---|---|---|---|---|
| $0^\circ$ | $0$ | $1$ | $0$ | $1$ |
| $30^\circ$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac12$ | $\frac{\sqrt3}{2} + \frac12 i$ |
| $45^\circ$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt2}{2} i$ |
| $60^\circ$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac12$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac12 + \frac{\sqrt3}{2} i$ |
| $90^\circ$ | $\frac{\pi}{2}$ | $0$ | $1$ | $i$ |
| $120^\circ$ | $\frac{2\pi}{3}$ | $-\frac12$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $-\frac12 + \frac{\sqrt3}{2} i$ |
| $135^\circ$ | $\frac{3\pi}{4}$ | $-\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $-\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt2}{2} i$ |
| $150^\circ$ | $\frac{5\pi}{6}$ | $-\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac12$ | $-\frac{\sqrt3}{2} + \frac12 i$ |
| $180^\circ$ | $\pi$ | $-1$ | $0$ | $-1$ |
| $270^\circ$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $0$ | $-1$ | $-i$ |
| $360^\circ$ | $2\pi$ | $1$ | $0$ | $1$ |
Para los cuadrantes III y IV se usan los mismos valores con el signo que corresponda (ej. $\operatorname{cis}\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt2}{2} - \frac{\sqrt2}{2}i$).
Conversión: $\ \text{rad} = \text{grados}\cdot\dfrac{\pi}{180}, \qquad \text{grados} = \text{rad}\cdot\dfrac{180}{\pi}$
4. Operaciones (resumen)
Sean $z_1 = r_1,\operatorname{cis}(\theta_1)$ y $z_2 = r_2,\operatorname{cis}(\theta_2)$.
| Operación | Fórmula | Regla |
|---|---|---|
| Producto | $z_1 z_2 = r_1 r_2,\operatorname{cis}(\theta_1 + \theta_2)$ | módulos se multiplican, ángulos se suman |
| Cociente | $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2},\operatorname{cis}(\theta_1 - \theta_2),\ z_2 \ne 0$ | módulos se dividen, ángulos se restan |
| Potencia (De Moivre) | $z^n = r^n,\operatorname{cis}(n\theta)$ | módulo a la $n$, ángulo por $n$ |
| Raíces $n$-ésimas | $w_k = \sqrt[n]{r},\operatorname{cis}!\left(\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}\right)$, $k = 0,\dots,n-1$ | raíz del módulo, ángulo entre $n$ (+ vueltas) |
| Conjugado | $\overline{z} = r,\operatorname{cis}(-\theta)$ | mismo módulo, ángulo negado |
| Inverso | $z^{-1} = \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{r},\operatorname{cis}(-\theta)$ | módulo invertido, ángulo negado |
| Suma / resta | pasar a binómica: $(a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i$ | no hay fórmula polar sencilla |
Útiles: $\ z\cdot\overline{z} = r^2 = \lvert z\rvert^2, \qquad \lvert z_1 z_2\rvert = \lvert z_1\rvert,\lvert z_2\rvert, \qquad \operatorname{cis}(\theta + 2\pi) = \operatorname{cis}(\theta)$
5. Ejemplos rápidos
Sean $z_1 = 2,\operatorname{cis}!\left(\frac{\pi}{3}\right)$ y $z_2 = 4,\operatorname{cis}!\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
Producto:
$$ z_1 z_2 = (2\cdot4),\operatorname{cis}!\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = 8,\operatorname{cis}!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 8i $$Cociente:
$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{4},\operatorname{cis}!\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}\right) = \frac12,\operatorname{cis}!\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt3}{4} + \frac14 i $$Potencia: $(1+i)^8$, con $1 + i = \sqrt2,\operatorname{cis}!\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$$ (1+i)^8 = (\sqrt2)^8,\operatorname{cis}!\left(8\cdot\frac{\pi}{4}\right) = 16,\operatorname{cis}(2\pi) = 16 $$Raíces: raíces cúbicas de $8i$, con $8i = 8,\operatorname{cis}!\left(\frac{\pi}{2}\right)$
$$ \begin{aligned} w_0 &= \sqrt[3]{8},\operatorname{cis}!\left(\frac{\pi/2}{3}\right) = 2,\operatorname{cis}!\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt3 + i \[4pt] w_1 &= 2,\operatorname{cis}!\left(\frac{\pi/2 + 2\pi}{3}\right) = 2,\operatorname{cis}!\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\sqrt3 + i \[4pt] w_2 &= 2,\operatorname{cis}!\left(\frac{\pi/2 + 4\pi}{3}\right) = 2,\operatorname{cis}!\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -2i \end{aligned} $$6. Raíces: lo que hay que saber
- Todo complejo $z \ne 0$ tiene exactamente $n$ raíces $n$-ésimas distintas.
- Todas tienen el mismo módulo $\sqrt[n]{r}$: quedan sobre un círculo de ese radio.
- Están separadas por ángulos iguales de $\dfrac{2\pi}{n}$: forman un polígono regular de $n$ lados.
- Truco: calcula $w_0$ y ve sumando $\dfrac{2\pi}{n}$ para obtener las demás.
| $n$ | Separación | Figura |
|---|---|---|
| 2 | $\pi = 180^\circ$ | dos puntos opuestos |
| 3 | $\frac{2\pi}{3} = 120^\circ$ | triángulo equilátero |
| 4 | $\frac{\pi}{2} = 90^\circ$ | cuadrado |
| 6 | $\frac{\pi}{3} = 60^\circ$ | hexágono |
Raíces de la unidad ($z^n = 1$, o sea $r = 1$, $\theta = 0$):
$$ w_k = \operatorname{cis}!\left(\frac{2k\pi}{n}\right), \qquad k = 0, 1, \dots, n-1 $$7. Potencias de $i$
$$ i^1 = i, \qquad i^2 = -1, \qquad i^3 = -i, \qquad i^4 = 1 $$Se repiten cada 4: $\ i^n = i^{,n \bmod 4}$. Ejemplo: $i^{23} = i^{3} = -i$ (porque $23 = 4\cdot5 + 3$).
En polar es inmediato: $\ i^n = \operatorname{cis}!\left(n\cdot\frac{\pi}{2}\right)$.
8. Errores comunes
- No corregir el cuadrante del ángulo: $\tan^{-1}!\left(\frac{1}{-1}\right) = -\frac{\pi}{4}$, pero $-1 + i$ está en el cuadrante II, su ángulo es $\frac{3\pi}{4}$.
- Elevar mal el módulo: $\left(\sqrt{13}\right)^{10} = 13^{5}$, no $\sqrt[5]{13}$.
- Calculadora en grados cuando el ángulo está en radianes (o al revés).
- Olvidar el $2k\pi$ en las raíces: con solo $\frac{\theta}{n}$ sale una raíz, no las $n$.
- Sumar en polar: $r_1\operatorname{cis}\theta_1 + r_2\operatorname{cis}\theta_2 \ne (r_1 + r_2)\operatorname{cis}(\theta_1 + \theta_2)$. Para sumar, pasa a binómica.
- Módulo negativo: $r$ nunca es negativo; $-3,\operatorname{cis}(\theta)$ se reescribe como $3,\operatorname{cis}(\theta + \pi)$.