Cheatsheet: forma polar de números complejos
La idea
Un número complejo $z = a + bi$ es un punto en el plano. La forma polar lo describe por distancia y dirección:
$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\,e^{i\theta}$$- $r$ = qué tan lejos está del origen (módulo)
- $\theta$ = hacia dónde apunta, medido desde el eje real positivo, en sentido antihorario (argumento)
Paso 1: Ubicar el punto con los signos
Los números dicen cuánto caminar; los signos dicen hacia dónde.
- $a$ → horizontal: $a > 0$ derecha, $a < 0$ izquierda
- $b$ → vertical: $b > 0$ arriba, $b < 0$ abajo
Cada eje tiene dos nombres: el de la derecha es $0^\circ = 360^\circ$ y el de abajo es $270^\circ = -90^\circ$.
Paso 2: Calcular el módulo $r$
Es la hipotenusa del triángulo que forman $|a|$ y $|b|$ (Pitágoras):
$$r = \sqrt{a^2 + b^2}$$
El signo no afecta a $r$ porque se eleva al cuadrado: $2+3i$, $-2+3i$ y $2-3i$ tienen el mismo $r = \sqrt{13} \approx 3.61$.
Paso 3: Calcular el ángulo interno $\alpha$
Usa los valores sin signo:
$$\alpha = \arctan\left|\frac{b}{a}\right|$$Es el ángulo del triángulo pegado al eje real (el arco verde azulado en los esquemas). Siempre cumple $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$.
Paso 4: Ajustar según el cuadrante
| Cuadrante | Signos | $\theta$ en grados | $\theta$ en radianes |
|---|---|---|---|
| I | $a>0,\ b>0$ | $\alpha$ | $\alpha$ |
| II | $a<0,\ b>0$ | $180^\circ - \alpha$ | $\pi - \alpha$ |
| III | $a<0,\ b<0$ | $180^\circ + \alpha$ | $\pi + \alpha$ |
| IV | $a>0,\ b<0$ | $-\alpha$ o $360^\circ - \alpha$ | $-\alpha$ o $2\pi - \alpha$ |
Código de colores: azul $= |a|$, verde $= |b|$, morado $= z$ (y $r$), verde azulado $= \alpha$, naranja $= \theta$.
El mismo triángulo, volteado
Cambiar signos refleja el punto como en un espejo. El triángulo, $r$ y $\alpha$ no cambian; solo cambia hacia dónde apunta, y por eso cambia $\theta$.
- Cambiar el signo de $a$: $\ a + bi \;\leftrightarrow\; -a + bi\ $ (espejo sobre el eje vertical)
- Cambiar el signo de $b$: $\ a + bi \;\leftrightarrow\; a - bi = \bar z\ $ (espejo sobre el eje horizontal: el conjugado)
Casos especiales: puntos sobre los ejes
No hay triángulo; el ángulo se lee directo del dibujo.
| Punto | Dónde está | $\theta$ |
|---|---|---|
| $a>0,\ b=0$ (ej. $2$) | eje real positivo | $0^\circ = 0$ |
| $a=0,\ b>0$ (ej. $2i$) | eje imaginario positivo | $90^\circ = \frac{\pi}{2}$ |
| $a<0,\ b=0$ (ej. $-2$) | eje real negativo | $180^\circ = \pi$ |
| $a=0,\ b<0$ (ej. $-2i$) | eje imaginario negativo | $270^\circ = \frac{3\pi}{2}$ o $-90^\circ = -\frac{\pi}{2}$ |
Si $a = 0$, $\arctan\left(\frac{b}{a}\right)$ no existe (división entre cero). Razona con el dibujo.
⚠️ Trampa de la calculadora
$\arctan$ solo devuelve ángulos con $-90^\circ < \theta < 90^\circ$ (cuadrantes I y IV). No sabe si el punto está a la izquierda.
- $\arctan\left(\frac{3}{-2}\right) = -56.3^\circ$ → apunta al cuadrante IV, pero $-2+3i$ está en el II. ❌
- $\arctan\left(\frac{0}{-2}\right) = 0^\circ$ → apunta a la derecha, pero $-2$ está a la izquierda. ❌
Siempre ubica el punto primero y revisa que $\theta$ apunte hacia allá.
Ángulos equivalentes
Sumar o restar una vuelta completa ($360^\circ = 2\pi$) no cambia la dirección:
$$\theta \;\equiv\; \theta + 360^\circ \;\equiv\; \theta - 360^\circ \qquad\text{(en radianes: } \theta \equiv \theta \pm 2\pi\text{)}$$
$$303.7^\circ - (-56.3^\circ) = 360^\circ$$Así que $-56.3^\circ$ y $303.7^\circ$ describen el mismo punto. Usa la convención que pida tu profesor:
- Rango $[0^\circ, 360^\circ)$ → $\theta = 303.7^\circ$
- Rango $(-180^\circ, 180^\circ]$ → $\theta = -56.3^\circ$
Recordatorio: grados ↔ radianes
La clave es una sola equivalencia:
$$180^\circ = \pi \text{ rad}$$
Grados → radianes: multiplica por $\dfrac{\pi}{180^\circ}$
$$56.31^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \approx 0.9828 \text{ rad}$$Radianes → grados: multiplica por $\dfrac{180^\circ}{\pi}$
$$\frac{3\pi}{2} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 270^\circ$$Tabla de ángulos comunes
| Grados | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ | $180^\circ$ | $270^\circ$ | $360^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radianes | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
Revisa que tu calculadora esté en el modo correcto: DEG para grados, RAD para radianes.
Comprobación rápida
Sustituye de vuelta y debes recuperar $a$ y $b$:
$$a = r\cos\theta \qquad b = r\sin\theta$$Ejemplo con $2+3i$: $\ \sqrt{13}\cos 56.31^\circ \approx 2\ $ y $\ \sqrt{13}\sin 56.31^\circ \approx 3$ ✓
Resultados de la actividad
| $z$ | Cuadrante | $r$ | $\theta$ (grados) | $\theta$ (rad) | |
|---|---|---|---|---|---|
| 2.1 | $2+3i$ | I | $\sqrt{13}$ | $56.31^\circ$ | $0.9828$ |
| 2.2 | $-2$ | eje real $(-)$ | $2$ | $180^\circ$ | $\pi$ |
| 2.3 | $-2+3i$ | II | $\sqrt{13}$ | $123.69^\circ$ | $2.1588$ |
| 2.4 | $2-3i$ | IV | $\sqrt{13}$ | $-56.31^\circ$ ($303.69^\circ$) | $-0.9828$ ($5.3004$) |
| 2.5 | $-i$ | eje imaginario $(-)$ | $1$ | $270^\circ$ ($-90^\circ$) | $\frac{3\pi}{2}$ ($-\frac{\pi}{2}$) |