Factorización simple: $x^n \pm y^n$ y trinomios
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- Versión larga: fac_cheatsheet_factorizacion · Tarea: fac_tarea_08
Paso 0: ¿qué quiero hacer?
Convertir una suma o resta con potencias en dos paréntesis multiplicados.
Las 4 reglas (solo hay que fijarse en 2 cosas)
Mira dos cosas: ¿es + o −? y ¿el exponente es par o impar?
| Expresión | Exponente | Qué hago |
|---|---|---|
| $x^n - y^n$ | par | Saco raíz cuadrada: $(x^{n/2} - y^{n/2})(x^{n/2} + y^{n/2})$ y repito |
| $x^n - y^n$ | impar | $(x-y)(\dots)$ con todo + adentro |
| $x^n + y^n$ | impar | $(x+y)(\dots)$ con signos + − + − + adentro |
| $x^n + y^n$ | par | Con reales casi nunca. Con $i$: $(x^{n/2} + iy^{n/2})(x^{n/2} - iy^{n/2})$ |
Regla 1: resta con exponente par → «cuadrados»
Divide el exponente entre 2. Un paréntesis con − y otro con +.
$$x^4 - y^4 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$$¿Algún paréntesis se puede abrir más? $x^2 - y^2$ sí:
$$x^4 - y^4 = (x-y)(x+y)(x^2+y^2)$$Otro: $16x^4 - 81 = (4x^2 - 9)(4x^2 + 9) = (2x-3)(2x+3)(4x^2+9)$
Regla 2: resta con exponente impar → todo +
El primer paréntesis es $(x-y)$. El segundo tiene $n$ términos: la $x$ baja un exponente, la $y$ sube.
Ejemplo $x^3 - y^3$ (3 términos):
| Término 1 | Término 2 | Término 3 |
|---|---|---|
| $x^2$ | $x\,y$ | $y^2$ |
Ejemplo $x^5 - 32$ (32 = $2^5$, así que $y=2$):
$$x^5 - 32 = (x-2)(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16)$$(el 2 va subiendo: $1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16$)
Regla 4: suma con exponente impar → signos alternados
Igual que la regla 2, pero primer paréntesis $(x+y)$ y los signos van + − + − +.
$$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$$$$x^5 + 1 = (x+1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)$$Con números: $27x^3 + 8 = (3x)^3 + 2^3 = (3x+2)(9x^2 - 6x + 4)$
Regla 3: suma con exponente par → usar $i$
Saca raíz cuadrada y pon una $i$ en un paréntesis, con el signo contrario en el otro.
$$x^2 + y^2 = (x + iy)(x - iy)$$Por qué funciona: $(x+iy)(x-iy) = x^2 - i^2y^2 = x^2 + y^2$, porque $i^2 = -1$.
Cómo revisar
Multiplica los paréntesis de vuelta. Si te da la expresión original, está bien.
Trinomios $x^2 + bx + c$
Busca dos números que multiplicados dan $c$ y sumados dan $b$.
| Trinomio | Multiplican | Suman | Resultado |
|---|---|---|---|
| $x^2 + 7x + 12$ | $3\cdot 4=12$ | $3+4=7$ | $(x+3)(x+4)$ |
| $m^2 - 11m + 30$ | $(-5)(-6)=30$ | $-11$ | $(m-5)(m-6)$ |
| $x^2 - x - 6$ | $(-3)(2)=-6$ | $-1$ | $(x-3)(x+2)$ |
Trinomios $ax^2 + bx + c$ (con número delante)
Ejemplo $2x^2 + 3x - 2$:
- Multiplica $a$ por $c$: $2\cdot(-2) = -4$
- Busca dos números que multipliquen $-4$ y sumen $3$: son $4$ y $-1$
- Pon esos números con $x$: $\;(2x + 4)(2x - 1)$
- Divide entre $a$ (2): a $(2x+4)$ sácale el 2 → $2(x+2)$, y se va con el 2 de abajo
- Resultado: $\;(x+2)(2x-1)$
(Es el mismo cambio de variable de la clase, solo resumido.)
Si no aparecen los dos números
Si ningún par de enteros multiplica $a\cdot c$ y suma $b$, no se factoriza con reales (como $20x^2+3x+2$).