Cheatsheet: Factorización de $x^n \pm y^n$ y trinomios
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- Clase: fac_261028 · Tarea: fac_tarea_08 · Respuestas: fac_tarea_08_respuestas
1. La idea en una frase
Para $x^n - y^n$ o $x^n + y^n$ siempre sale un factor chico $(x \mp y)$ por un factor grande hecho de $n$ términos. Lo único que cambia entre los 4 casos son los signos.
2. Cómo se arma el factor grande (paso a paso)
Ejemplo con $n = 5$: $\;x^5 - y^5 = (x-y)(\ \ ?\ \ )$
- Cuenta $n$ términos. Aquí son 5.
- Los exponentes de $x$ bajan desde $n-1$ hasta 0: $x^4,\ x^3,\ x^2,\ x^1,\ x^0$
- Los exponentes de $y$ suben desde 0 hasta $n-1$: $y^0,\ y^1,\ y^2,\ y^3,\ y^4$
- Júntalos de dos en dos (la suma de exponentes siempre da $n-1$):
$$x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4$$ - Pon los signos según el caso (tabla de abajo). Si es todo $+$, no hay nada que hacer.
3. Los 4 casos de un vistazo
| Caso | ¿Se factoriza con…? | Factor chico | Signos del factor grande |
|---|---|---|---|
| $x^n - y^n$, $n$ impar | solo $(x-y)$ | $(x-y)$ | todos $+$ |
| $x^n - y^n$, $n$ par | $(x-y)$ y $(x+y)$ | $(x-y)$ o $(x+y)$ | todos $+$ con $(x-y)$; alternados con $(x+y)$ |
| $x^n + y^n$, $n$ impar | solo $(x+y)$ | $(x+y)$ | alternados $+\,-\,+\,-\dots+$ |
| $x^n + y^n$, $n$ par | ni $(x-y)$ ni $(x+y)$ | — | truco con $i$ (ver 7) |
Prueba rápida: ¿sale ese factor chico?
Sustituye y revisa si el resultado es 0 (si da 0, el factor sí sirve):
| Sustituir | $x^n - y^n$ | $x^n + y^n$ |
|---|---|---|
| $x = y$ | siempre $0$ ✅ | $2y^n$ ❌ |
| $x = -y$ | $0$ si $n$ par ✅, $-2y^n$ si impar ❌ | $0$ si $n$ impar ✅, $2y^n$ si par ❌ |
4. Caso 1: $x^n - y^n$ con $n$ par
Lo más fácil: es una diferencia de cuadrados. Saca raíz cuadrada a todo (exponentes entre 2):
$$x^n - y^n = \left(x^{n/2} - y^{n/2}\right)\left(x^{n/2} + y^{n/2}\right)$$y sigue factorizando cada paréntesis mientras se pueda.
Ejemplo A: $x^4 - y^4$
- $n = 4$ es par → cuadrados: $(x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$
- $x^2 - y^2$ todavía es diferencia de cuadrados: $(x-y)(x+y)$
- $x^2 + y^2$ ya no baja (en reales).
$$x^4 - y^4 = (x-y)(x+y)(x^2+y^2)$$
Ejemplo B: $x^6 - y^6$
- Como cuadrados: $(x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$
- Resta de cubos: $(x-y)(x^2 + xy + y^2)$
- Suma de cubos: $(x+y)(x^2 - xy + y^2)$
$$x^6 - y^6 = (x-y)(x+y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$$
Ejemplo C (con números): $16x^4 - 81 = (4x^2 - 9)(4x^2 + 9) = (2x-3)(2x+3)(4x^2+9)$
Orden recomendado
Con $n$ par, primero cuadrados (queda más corto). Es lo mismo que el «Camino 1» de $x^{12}-y^{12}$ en fac_261028.
5. Caso 2: $x^n - y^n$ con $n$ impar
Solo sirve $(x-y)$ y el factor grande lleva todo $+$ (pasos de la sección 2).
Ejemplo A: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$
Ejemplo B: $x^5 - 32$
- $32 = 2^5$, así que $y = 2$.
- Términos: $x^4,\ x^3\cdot 2,\ x^2\cdot 2^2,\ x\cdot 2^3,\ 2^4$
$$x^5 - 32 = (x-2)(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16)$$
Ejemplo C: $x^7 - 1 = (x-1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$
(aquí $y = 1$, así que las potencias de $y$ desaparecen)
Ejemplo D (con números): $27x^6 - 1$ es resta de cubos con $a = 3x^2$, $b = 1$ → $(3x^2 - 1)(9x^4 + 3x^2 + 1)$
6. Caso 4: $x^n + y^n$ con $n$ impar
Solo sirve $(x+y)$ y el factor grande lleva signos alternados, empezando con $+$ y terminando con $+$:
$$x^n + y^n = (x+y)(x^{n-1} - x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 - \dots + y^{n-1})$$Ejemplo A: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$
Ejemplo B: $x^5 + 1 = (x+1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)$
Ejemplo C: $27x^3 + 8$
- $27x^3 = (3x)^3$ y $8 = 2^3$ → $a = 3x$, $b = 2$
- $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$
$$27x^3 + 8 = (3x+2)(9x^2 - 6x + 4)$$
7. Caso 3: $x^n + y^n$ con $n$ par
No sale con $(x+y)$ ni con $(x-y)$ (por la prueba rápida). Hay dos situaciones:
a) Con números complejos (como en clase, usando $i^2 = -1$): saca raíz cuadrada y pon una $i$:
- $x^2 + y^2 = (x+iy)(x-iy)$
- $x^4 + y^4 = (x^2 + iy^2)(x^2 - iy^2)$
- $16x^4 + 9y^{10} = (4x^2 + 3iy^5)(4x^2 - 3iy^5)$
Comprobación: $(x+iy)(x-iy) = x^2 - i^2y^2 = x^2 + y^2$ ✅
b) Solo con reales: si $n$ tiene un factor impar, se puede reagrupar.
- $x^6 + y^6 = (x^2)^3 + (y^2)^3$ → suma de cubos con $a = x^2$, $b = y^2$:
$$x^6 + y^6 = (x^2 + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$$ - $x^4 + y^4$, $x^2 + y^2$, $x^8 + y^8$ (potencias de 2) no se pueden con reales.
8. ¿Qué hago cuando me dan una expresión? (diagrama mental)
- ¿Es resta o suma?
- ¿Qué exponente tiene? ¿Par o impar? (si no es exacto, usa $x^{6} = (x^2)^3$ o $(x^3)^2$)
- Elige el caso de la tabla de la sección 3.
- Saca las raíces ($\sqrt[n]{\ }$ de coeficientes y exponente entre $n$).
- Arma el factor grande (sección 2).
- Revisa si algún factor sigue factorizándose.
9. Trinomios (resumen simple)
$x^2 + bx + c$ (sin número delante de $x^2$)
Busca dos números que multiplicados den $c$ y sumados den $b$.
- $x^2 + 7x + 12$: $\;3\cdot 4 = 12$ y $3+4 = 7$ → $(x+3)(x+4)$
- $m^2 - 11m + 30$: $\;(-5)(-6) = 30$ y $-5-6 = -11$ → $(m-5)(m-6)$
- $x^2 - x - 6$: $\;(-3)(2) = -6$ y $-3+2 = -1$ → $(x-3)(x+2)$
Pistas con los signos de $c$ y $b$
- $c$ positivo: los dos números tienen el mismo signo que $b$.
- $c$ negativo: los dos números tienen signos distintos; el mayor lleva el signo de $b$.
$ax^2 + bx + c$ (método de la clase: cambio de variable)
Ejemplo: $6y^2 + 7y + 2$
- Multiplica y divide por $a$ (6): $\dfrac{6(6y^2 + 7y + 2)}{6} = \dfrac{(6y)^2 + 7(6y) + 12}{6}$
- Cambio de variable $w = 6y$: $\dfrac{w^2 + 7w + 12}{6}$
- Factoriza $w^2 + 7w + 12 = (w+3)(w+4)$ (3·4 = 12 y 3+4 = 7)
- Regresa $w = 6y$: $\dfrac{(6y+3)(6y+4)}{6}$
- Saca factor común en cada paréntesis: $\dfrac{3(2y+1)\cdot 2(3y+2)}{6}$
- Simplifica ($3\cdot 2 = 6$): $(2y+1)(3y+2)$ ✅
Truco para no perderte
El número que multiplica a $c$ en el paso 1 es $a$ ($6 \cdot 2 = 12$). Los dos números del paso 3 deben multiplicar $a \cdot c$ y sumar $b$. Si no existen enteros que lo cumplan, el trinomio no se factoriza en reales (como $20x^2 + 3x + 2$).