Cheatsheet: Teoría de conjuntos
1. Notación básica
| Símbolo | Significado | Ejemplo |
|---|---|---|
| $\in$ | pertenece a | $2 \in \lbrace 1,2,3\rbrace$ |
| $\notin$ | no pertenece a | $5 \notin \lbrace 1,2,3\rbrace$ |
| $\lbrace \ \rbrace$ o $\varnothing$ | conjunto vacío | $\lbrace x \in \mathbb{R} : x^2 = -1\rbrace = \varnothing$ |
| $U$ | conjunto universo | todo lo que se está considerando |
| $\lvert A \rvert$ o $n(A)$ | cardinalidad (número de elementos) | $\lvert\lbrace a,b,c\rbrace \rvert = 3$ |
| $:$ o $\mid$ | “tal que” | $\lbrace x : x > 0\rbrace$ |
| $\forall$ / $\exists$ | para todo / existe | $\forall x \in A,\ \exists y \in B$ |
Formas de describir un conjunto
- Por extensión (listando): $A = \lbrace 2, 4, 6, 8\rbrace$
- Por comprensión (con una regla): $A = \lbrace x \in \mathbb{N} : x \text{ es par y } x < 10\rbrace$
Conjuntos numéricos
$$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} $$| Símbolo | Nombre | Elementos |
|---|---|---|
| $\mathbb{N}$ | naturales | $\lbrace 1, 2, 3, \dots\rbrace$ (a veces incluye el $0$) |
| $\mathbb{Z}$ | enteros | $\lbrace \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\rbrace$ |
| $\mathbb{Q}$ | racionales | $\left\lbrace \frac{p}{q} : p, q \in \mathbb{Z},\ q \neq 0\right\rbrace$ |
| $\mathbb{R}$ | reales | racionales + irracionales ($\pi$, $\sqrt{2}$, …) |
| $\mathbb{C}$ | complejos | $\lbrace a + bi : a, b \in \mathbb{R}\rbrace$ |
2. Relaciones entre conjuntos
| Símbolo | Significado | Definición |
|---|---|---|
| $A \subseteq B$ | $A$ es subconjunto de $B$ | $\forall x,(x \in A \Rightarrow x \in B)$ |
| $A \subset B$ | subconjunto propio | $A \subseteq B$ y $A \neq B$ |
| $A = B$ | igualdad | $A \subseteq B$ y $B \subseteq A$ |
| $A \cap B = \varnothing$ | disjuntos | no comparten elementos |
| $\mathcal{P}(A)$ | conjunto potencia | conjunto de todos los subconjuntos de $A$ |
Datos clave:
- $\varnothing \subseteq A$ para cualquier conjunto $A$.
- $A \subseteq A$ siempre.
- Si $\lvert A \rvert = n$, entonces $\lvert \mathcal{P}(A) \rvert = 2^n$.
3. Operaciones
| Operación | Notación | Definición |
|---|---|---|
| Unión | $A \cup B$ | $\lbrace x : x \in A \ \text{o}\ x \in B\rbrace$ |
| Intersección | $A \cap B$ | $\lbrace x : x \in A \ \text{y}\ x \in B\rbrace$ |
| Diferencia | $A - B$ o $A \setminus B$ | $\lbrace x : x \in A \ \text{y}\ x \notin B\rbrace$ |
| Complemento | $A^c$ o $A'$ o $\overline{A}$ | $\lbrace x \in U : x \notin A\rbrace = U - A$ |
| Diferencia simétrica | $A ,\triangle, B$ | $(A - B) \cup (B - A)$ |
| Producto cartesiano | $A \times B$ | $\lbrace (a,b) : a \in A,\ b \in B\rbrace$ |
Ejemplo con $U = \lbrace 1,\dots,6\rbrace$, $A = \lbrace 1,2,3,4\rbrace$, $B = \lbrace 3,4,5\rbrace$:
$$ \begin{aligned} A \cup B &= \lbrace 1,2,3,4,5\rbrace & A \cap B &= \lbrace 3,4\rbrace \ A - B &= \lbrace 1,2\rbrace & B - A &= \lbrace 5\rbrace \ A^c &= \lbrace 5,6\rbrace & A ,\triangle, B &= \lbrace 1,2,5\rbrace \end{aligned} $$Cardinalidad de la unión (inclusión–exclusión):
$$ \lvert A \cup B \rvert = \lvert A \rvert + \lvert B \rvert - \lvert A \cap B \rvert $$$$ \lvert A \cup B \cup C \rvert = \lvert A \rvert + \lvert B \rvert + \lvert C \rvert - \lvert A \cap B \rvert - \lvert A \cap C \rvert - \lvert B \cap C \rvert + \lvert A \cap B \cap C \rvert $$$$ \lvert A \times B \rvert = \lvert A \rvert \cdot \lvert B \rvert $$4. Leyes y propiedades
| Ley | Unión | Intersección |
|---|---|---|
| Conmutativa | $A \cup B = B \cup A$ | $A \cap B = B \cap A$ |
| Asociativa | $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ | $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ |
| Distributiva | $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ | $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ |
| Identidad | $A \cup \varnothing = A$ | $A \cap U = A$ |
| Dominación | $A \cup U = U$ | $A \cap \varnothing = \varnothing$ |
| Idempotencia | $A \cup A = A$ | $A \cap A = A$ |
| Complemento | $A \cup A^c = U$ | $A \cap A^c = \varnothing$ |
| Absorción | $A \cup (A \cap B) = A$ | $A \cap (A \cup B) = A$ |
| De Morgan | $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ | $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$ |
Otras útiles:
$$ (A^c)^c = A, \qquad \varnothing^c = U, \qquad U^c = \varnothing, \qquad A - B = A \cap B^c $$5. Intervalos (subconjuntos de $\mathbb{R}$)
| Notación | Nombre | Como conjunto | ¿Incluye extremos? |
|---|---|---|---|
| $(a, b)$ | abierto | $\lbrace x : a < x < b\rbrace$ | ninguno |
| $[a, b]$ | cerrado | $\lbrace x : a \le x \le b\rbrace$ | ambos |
| $[a, b)$ | semiabierto | $\lbrace x : a \le x < b\rbrace$ | solo $a$ |
| $(a, b]$ | semiabierto | $\lbrace x : a < x \le b\rbrace$ | solo $b$ |
| $(a, +\infty)$ | infinito | $\lbrace x : x > a\rbrace$ | — |
| $[a, +\infty)$ | infinito | $\lbrace x : x \ge a\rbrace$ | $a$ |
| $(-\infty, b)$ | infinito | $\lbrace x : x < b\rbrace$ | — |
| $(-\infty, +\infty)$ | toda la recta | $\mathbb{R}$ | — |
El infinito siempre lleva paréntesis, nunca corchete: $\infty$ no es un número que se pueda incluir.
6. Uniones e intersecciones indexadas
Funcionan igual que la sumatoria $\sum$, pero en vez de sumar números se unen (o intersectan) conjuntos.
Definición
Para una familia de conjuntos $A_1, A_2, A_3, \dots$
$$ \bigcup_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \lbrace x : x \in A_i \ \text{para}\ \textbf{algún}\ i\rbrace $$$$ \bigcap_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = \lbrace x : x \in A_i \ \text{para}\ \textbf{todo}\ i\rbrace $$Con $n = \infty$ son uniones / intersecciones infinitas.
Partes de la notación:
- $\bigcup$ / $\bigcap$: unión / intersección “grande”
- $i$: índice (variable que recorre los valores)
- $i = 1$ (abajo): valor inicial
- $n$ o $\infty$ (arriba): valor final
- $A_i$: el conjunto que depende de $i$
Truco para recordar: unión ↔ “existe un $i$” ; intersección ↔ “para todo $i$”.
De Morgan generalizado
$$ \left(\bigcup_{i} A_i\right)^c = \bigcap_{i} A_i^{,c}, \qquad \left(\bigcap_{i} A_i\right)^c = \bigcup_{i} A_i^{,c} $$Ejemplo de clase: $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty} (i,, i+1)$
Los conjuntos son intervalos abiertos consecutivos:
$$ (1,2),\ (2,3),\ (3,4),\ (4,5),\ \dots,\ (n, n+1),\ \dots $$Entonces
$$ \bigcup_{i=1}^{\infty} (i,, i+1) = (1,2) \cup (2,3) \cup (3,4) \cup \cdots = (1, +\infty) - \mathbb{N} $$¿Por qué se quitan los naturales? Los intervalos son abiertos, así que ninguno contiene sus extremos $2, 3, 4, \dots$; esos enteros quedan como “huecos”. (El $1$ ya estaba fuera de $(1,+\infty)$.)
Si fueran cerrados, los huecos se tapan:
$$ \bigcup_{i=1}^{\infty} [i,, i+1] = [1, +\infty) $$Más ejemplos típicos
| Expresión | Resultado | Razón |
|---|---|---|
| $\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} (-n,, n)$ | $\mathbb{R}$ | todo real cabe en algún intervalo suficientemente grande |
| $\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty} (-n,, n)$ | $(-1, 1)$ | el más pequeño, $n=1$, está dentro de todos |
| $\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} \left[\tfrac{1}{n},, 1\right]$ | $(0, 1]$ | $\tfrac1n$ se acerca a $0$ pero nunca lo alcanza |
| $\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty} \left(0,, \tfrac{1}{n}\right)$ | $\varnothing$ | ningún $x > 0$ es menor que $\tfrac1n$ para todo $n$ |
| $\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty} \left[0,, \tfrac{1}{n}\right]$ | $\lbrace 0\rbrace$ | solo el $0$ está en todos |
| $\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty} \left(-\tfrac{1}{n},, \tfrac{1}{n}\right)$ | $\lbrace 0\rbrace$ | igual que la anterior, por ambos lados |
| $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{3} \lbrace i,, 2i\rbrace$ | $\lbrace 1,2,3,4,6\rbrace$ | $\lbrace 1,2\rbrace \cup \lbrace 2,4\rbrace \cup \lbrace 3,6\rbrace$ |
Cómo resolver uno de estos
- Escribe los primeros 3 o 4 conjuntos ($i = 1, 2, 3, \dots$).
- Observa si crecen (cada uno contiene al anterior) o se encogen.
- Unión → busca lo que está en al menos uno. Intersección → lo que está en todos.
- Revisa con cuidado los extremos: abierto vs. cerrado cambia el resultado.