Informática · FCA UNAM

Fundamentos de análisis cuantitativo · 4 nov 2026

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  • Continuación de fac_261028 (factorización II, trinomios).

Factorización III: trinomio cuadrado perfecto

10) Trinomio cuadrado perfecto (TCP)

$$a^2x^2 + 2acx + c^2 = (ax + c)^2$$

Cómo reconocerlo:

  1. Los dos términos de los extremos son cuadrados perfectos: se saca su raíz ($ax$ y $c$).
  2. El término de en medio es el doble producto de esas raíces: $2 \cdot (ax) \cdot c = 2acx$.
  3. Si se cumple, el trinomio es el cuadrado de un binomio.

Ejemplos

$$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 = (x+1)(x+1)$$$$4x^2 + 9y^2 - 12xy = 4x^2 - 12xy + 9y^2 = (2x - 3y)^2$$

Ordenar primero
Antes de buscar las raíces conviene ordenar el trinomio de mayor a menor exponente, como en el segundo ejemplo.

Actividad: resolver los siguientes trinomios

  1. $a^2 + 8a + 16 = (a+4)(a+4) = (a+4)^2$

    • Raíces: $a$ y $4$; $2 \cdot 4 \cdot a = 8a$ ✓

  2. $m^2 - 10m + 25 = (m-5)(m-5) = (m-5)^2$

    • Raíces: $m$ y $5$; $5 \cdot 2 \cdot m = 10m$ ✓

  3. $36 + 121c^2 - 132c = 121c^2 - 132c + 36 = (11c - 6)^2$

    • Raíces: $11c$ y $6$; $2 \cdot 11c \cdot 6 = 132c$ ✓

  4. $4a^2 - 20ab + b^2$

    • Raíces: $2a$ y $b$; $2 \cdot 2a \cdot b = 4ab \neq 20ab$.
    • No es TCP. Se resuelve con factorización parcial (siguiente sección).

Por revisar
En el ejercicio 7 el enunciado se copió como $36 + 120k^2 - 132c$, pero el desarrollo usa $121c^2$. Lo dejé como $121c^2$, que es lo que sí da un TCP. Confirmar con el pizarrón.

10.1) Factorización parcial

Técnica para crear un TCP cuando el trinomio no lo es: se parte el término de en medio para sacar el TCP y lo que sobra queda aparte.

$$\begin{aligned} 4a^2 - 20ab + b^2 &= 4a^2 - 4ab - 16ab + b^2 \\ &= 4a^2 - 4ab + b^2 - 16ab \\ &= (2a - b)^2 - 16ab \end{aligned}$$

El resultado queda como un TCP más un término sobrante. Esta es la factorización parcial.

11) Completar un TCP

Sirve para trinomios $x^2 + bx + c$ que no son TCP. Se suma y se resta el número que falta.

  1. Se toma el coeficiente de $x$ y se divide entre 2.
  2. Se eleva al cuadrado: ese es el término que completa el TCP.
  3. Se suma y se resta el mismo número, para no cambiar la expresión.

Ejemplo: $x^2 - 3x - 10$

$$\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$$$$\begin{aligned} x^2 - 3x - 10 &= x^2 - 3x + \frac{9}{4} - 10 - \frac{9}{4} \\ &= \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - 10 - \frac{9}{4} \\ &= \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{49}{4} \end{aligned}$$

Ejemplo con $a \neq 1$: $2x^2 + 5x + 2$

Primero se saca $a = 2$ como factor común para que el coeficiente de $x^2$ sea 1:

$$2x^2 + 5x + 2 = 2\left(x^2 + \frac{5}{2}x + 1\right)$$

El número que completa el TCP:

$$\left(\frac{5/2}{2}\right)^2 = \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}$$$$\begin{aligned} x^2 + \frac{5}{2}x + 1 &= x^2 + \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} + 1 - \frac{25}{16} \\ &= \left(x + \frac{5}{4}\right)^2 + 1 - \frac{25}{16} \\ &= \left(x + \frac{5}{4}\right)^2 - \frac{9}{16} \\ &= \left(x + \frac{5}{4} + \frac{3}{4}\right)\left(x + \frac{5}{4} - \frac{3}{4}\right) \\ &= (x + 2)\left(x + \frac{1}{2}\right) \end{aligned}$$

Volviendo a meter el $2$ del inicio:

$$\boxed{2x^2 + 5x + 2 = 2\left(x + \frac{1}{2}\right)(x + 2)}$$

Tarea

Factoriza las siguientes expresiones.

1) Completando un TCP

2) Por TCP

Ejemplo resuelto: 1d) $3x^2 + 10x + 8$

$$3x^2 + 10x + 8 = 3\left(x^2 + \frac{10}{3}x + \frac{8}{3}\right)$$

El número que completa el TCP:

$$\frac{10}{3} \div 2 = \frac{5}{3} \qquad \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}$$$$\begin{aligned} x^2 + \frac{10}{3}x + \frac{8}{3} &= x^2 + \frac{10}{3}x + \frac{25}{9} + \frac{8}{3} - \frac{25}{9} \\ &= \left(x + \frac{5}{3}\right)^2 + \frac{8}{3} - \frac{25}{9} \\ &= \left(x + \frac{5}{3}\right)^2 - \frac{1}{9} \\ &= \left(x + \frac{5}{3}\right)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 \\ &= \left(x + \frac{5}{3} - \frac{1}{3}\right)\left(x + \frac{5}{3} + \frac{1}{3}\right) \\ &= \left(x + \frac{4}{3}\right)(x + 2) \end{aligned}$$

Con el $3$ del inicio:

$$3\left(x + \frac{4}{3}\right)(x + 2) = \boxed{(3x + 4)(x + 2)}$$