Relacionado
- Continuación de fac_261014 (productos notables y factorización).
Factorización II
3) Diferencia de cuadrados
$$\text{resta} \quad \longrightarrow \quad x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \quad \longleftarrow \quad \text{números elevados a la } 2$$Ejemplos:
$4x^2 - y^2 = (2x - y)(2x + y)$
- $\sqrt[2]{4} = 2$
- $\sqrt[2]{x^2} = x^{2/2} = x^1 = x$
$5x^2 - y^2 = (\sqrt{5}x - y)(\sqrt{5}x + y)$
- $\sqrt{5} \text{ no es exacta}$
$x^{10} - 25x^4y^6 = (x^5 - 5x^2y^3)(x^5 + 5x^2y^3)$
- $x^{10/2} = x^5$
- $\sqrt[2]{25}\, x^{4/2} y^{6/2} = 5x^2y^3$
4) Suma de cuadrados
$$x^2 + y^2 = (x + iy)(x - iy) = x^2 - ixy + iyx - i^2y^2 = x^2 - (-1)y^2 = x^2 + (1)y^2$$Ejemplo:
- $16x^4 \longrightarrow 4x^2$
- $9y^{10} \longrightarrow 3y^5$
5) Diferencia de cubos
$$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$$- Raíces cúbicas:
- $x^{3/3} = x^1$
- $y^{3/3} = y^1$ (números elevados a la 3)
Ejemplo:
- Descomposición de raíces:
- $\sqrt[3]{27} = 3, \quad x^{6/3} = x^2 \implies 3x^2$
- $\sqrt[3]{1} = 1$
6) Suma de cubos
$$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$$Ejemplo:
- Descomposición de raíces:
- $\sqrt[3]{125} = 5$
- $z^{12/3} = z^4$
Actividades
Factorizar las siguientes expresiones:
- $9x^2 + y^2$
- $9y^2 - x^2$
- $1 + 25z^{10}$
- $1 - 25z^{10}$
- $x^6 - y^8$
- $8 + z^{18}$
- $x^4 - y^2$
- $x^4 + y^2$
- $\frac{1}{4} - \frac{9}{25}x^2$
- $7x^2 + 121y^6$
- $16x^4y^2 - 5$
- $16x^4y^2 + 5$
Casos especiales
$$x^{12} - y^{12}$$Camino 1: Iniciando como diferencia de cuadrados $(x^6)^2 - (y^6)^2$
$$ \begin{aligned} x^{12} - y^{12} &= (x^6 - y^6)(x^6 + y^6) \\ &= [x^3 - y^3][x^3 + y^3](x^2 + y^2)\left((x^2)^2 - x^2y^2 + (y^2)^2\right) \\ &= (x - y)(x^2 + xy + y^2)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x + iy)(x - iy)(x^4 - x^2y^2 + y^4) \end{aligned} $$Camino 2: Iniciando como diferencia de cubos $(x^4)^3 - (y^4)^3$
$$ \begin{aligned} x^{12} - y^{12} &= [x^4 - y^4]\left((x^4)^2 + x^4y^4 + (y^4)^2\right) \\ &= (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)(x^8 + x^4y^4 + y^8) \\ &= (x - y)(x + y)(x + iy)(x - iy)(x^8 + x^4y^4 + y^8) \end{aligned} $$Tarea
Investigar y dar ejemplos de las reglas generales:
- $x^n - y^n \quad \text{con } n \text{ par}$
- $x^n - y^n \quad \text{con } n \text{ impar}$
- $x^n + y^n \quad \text{con } n \text{ par}$
- $x^n - y^n \quad \text{con } n \text{ impar}$
7) Trinomios de la forma $x^2 + bx + c$
Ejemplos:
$x^2 + 7x + 6 = (x + 1)(x + 6) = x \cdot x + 6x + x + 1 \cdot 6 = x^2 + 7x + 6$
- Descomposición de 6:
- $6 \cdot 1 = 6 \quad (\text{NO})$
- $(-1)(-6) = 6 \quad (\text{NO})$
- $3 \cdot 2 = 6 \quad (\text{NO})$
- $(-3)(-2) = 6 \quad (\text{NO})$
- Comprobación: $(1)(6) = 6$ y $(1) + (6) = 7$
- Descomposición de 6:
$x^2 - 7x + 6$
$x^2 + 7x - 6$
$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$
- Comprobación: $(-3)(2) = -6$ y $(-3) + (2) = -1$
8) Trinomios de la forma $ax^2 + bx + c$
- $6x^2 + 7x + 2$
- $5x^2 - 7x + 2$
- $10x^2 + 10x - 1$
Ejemplo de resolución por cambio de variable:
$$6x^2 + 7x + 2$$Multiplicar y dividir por $a$ (en este caso 6):
$$\frac{6(6x^2 + 7x + 2)}{6} = \frac{6 \cdot 6x^2 + 7(6x) + 2 \cdot 6}{6} = \frac{(6x)^2 + 7(6x) + 12}{6}$$Cambio de variable: $6x = y$
$$\frac{y^2 + 7y + 12}{6}$$Factorizar el numerador ($y^2 + 7y + 12$):
- $(3)(4) = 12$
- $(3) + (4) = 7$
- $y^2 + 7y + 12 = (y + 3)(y + 4)$
Sustituir en la fracción original:
$$\frac{(y + 3)(y + 4)}{6} = \frac{(6x + 3)(6x + 4)}{6}$$Factorizar los términos del numerador:
- $6x + 3 = 3(2x + 1)$
- $6x + 4 = 2(3x + 2)$
- Sustituyendo: $\frac{3(2x + 1) \cdot 2(3x + 2)}{6}$
Simplificar:
$$\frac{6(2x + 1)(3x + 2)}{6} = (2x + 1)(3x + 2)$$
Por lo tanto:
$\therefore 6x^2 + 7x + 2 = (2x + 1)(3x + 2) = 6x^2 + 4x + 3x + 2 = 6x^2 + 7x + 2$
(Comprobación realizada expandiendo los binomios)
Ejemplo 2
$$50x^2 + 10x - 4 = \frac{50(50x^2 + 10x - 4)}{50}$$Cambio de variable: $m = 50x$
- Factorización del numerador $m^2 + 10m - 200$:
- $(-10)(20) = -200$
- $(-10) + (20) = 10$
Sustituyendo la variable original ($m = 50x$):
$$= \frac{(50x - 10)(50x + 20)}{50} = \frac{10(5x - 1)10(5x + 2)}{50} = \frac{100(5x - 1)(5x + 2)}{50}$$Actividad
Factoriza los siguientes trinomios:
- $x^2 + 3x + 2$
- $m^2 - 11m + 30$
- $n^2 - 7n + 12$
- $y^2 - 15y + 56$
- $x^2 + 7x + 6$
- $x^2 + 7x + 12$
- $a^2 + 10a + 24$
- $b^2 - 7b + 10$
- $m^2 - 9m + 20$
- $x^2 - 5x + 4$
- $5m^2 + 13m - 6$
- $3a^2 - 5a - 2$
- $6y^2 + 7y + 2$
- $2x^2 + 3x - 2$
- $4n^2 + 15n + 9$
- $20x^2 + x - 1$
- $7a^2 - 44a - 35$
- $2y^2 + 5y + 2$
- $20x^2 + 3x + 2$
- $15m^2 - 8m - 12$