Relacionado
- Parte de fac_261014 (productos notables y factorización).
- Se continúa en fac_261028 (factorización II).
Factorización I
¿Factor o término?
| Operación | Resultado | Nombre |
|---|---|---|
| $3 + 4 = 7$ | los sumandos son términos | |
| $3 - 4 = -1$ | los sumandos son términos | |
| $3 \cdot 4 = 12$ | los que se multiplican son factores |
La multiplicación se puede escribir de varias formas:
$$(3)(4) = 3(4) = (3)4 = 12$$1) Factor común
$$(3)(x + y) = 3x + 3y$$- Multiplicar: $3(x+y) \to 3x + 3y$
- Factorizar: $3x + 3y \to 3(x+y)$
Claves
- Identificar la letra, el número o ambos que están repetidos en todos los términos.
- Utilizarlo como factor para multiplicar con el resto.
Parte numérica: máximo común divisor (MCD)
Para encontrar el factor numérico común hay que saber qué números son primos.
Primos y compuestos
- Un número primo solo tiene como divisores al 1 y a sí mismo.
- Un número compuesto tiene más divisores.
- El 1 no es primo ni compuesto.
| $n$ | Divisores | Tipo | $n$ | Divisores | Tipo |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | ni primo ni compuesto | 9 | 1, 3, 9 | compuesto |
| 2 | 1, 2 | primo | 10 | 1, 2, 5, 10 | compuesto |
| 3 | 1, 3 | primo | 11 | 1, 11 | primo |
| 4 | 1, 2, 4 | compuesto | 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | compuesto |
| 5 | 1, 5 | primo | 13 | 1, 13 | primo |
| 6 | 1, 2, 3, 6 | compuesto | 14 | 1, 2, 7, 14 | compuesto |
| 7 | 1, 7 | primo | 15 | 1, 3, 5, 15 | compuesto |
| 8 | 1, 2, 4, 8 | compuesto | 16 | 1, 2, 4, 8, 16 | compuesto |
Todo compuesto se descompone en primos, por ejemplo $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$.
Cómo calcular el MCD
Se divide entre números primos, de menor a mayor. Solo se usa un primo si divide a todos los números de la fila (✓). Si no divide a todos (✗), se prueba con el siguiente. El MCD es el producto de los primos usados.
MCD de 30 y 10
| 30 | 10 | primo |
|---|---|---|
| 15 | 5 | 2 ✓ |
| 3 | 1 | 5 ✓ |
| 1 | 1 | 3 ✗ |
Con tres términos
$$24x + 40y - 56z = (8)(3x + 5y - 7z)$$Si el MCD de los números es $1$, ese factor no cambia nada:
$$3x + 5xy = (1 \cdot x)(3 + 5y) = x(3 + 5y) \qquad \text{MCD}(3,5)=1$$Parte literal: la letra con menor exponente
$$3x^2 + 5x^7y = (1 \cdot x^2)(3 + 5x^5y)$$Se entiende al desarrollar: $x^7 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ y $x^2 = x \cdot x$. Lo que se repite en los dos términos es $x^2$.
$$3x^{10} + 5x^{90}y = (x^{10})(3 + 5x^{80}y)$$Leyes de exponentes que se usan
| Ley | Ejemplo |
|---|---|
| Producto de la misma base: se suman exponentes | $x^{10} \cdot x^{90} = x^{10+90} = x^{100}$ |
| Cociente de la misma base: se restan exponentes | $\dfrac{x^{90}}{x^{10}} = x^{90-10} = x^{80}$ |
| Cociente de potencias iguales | $\dfrac{m^3}{m^3} = m^{3-3} = m^0 = 1$ |
| Exponente uno | $m^1 = m$ |
Para comprobar el resultado se multiplica el factor común por cada término del paréntesis:
$$x^{10} \cdot 5 \cdot x^{80} \cdot y = 5 \cdot x^{10} \cdot x^{80} \cdot y = 5x^{90}y$$Ejemplo completo (número y letras)
$$50m^4n^2 + 35m^6n^{10} - 80m^3n^3$$- Números: $\text{MCD}(50, 35, 80) = 5$. El $7$ no divide a todos, así que ya no se sigue.
- Letra $m$: el menor exponente es $3$, queda $m^3$.
- Letra $n$: el menor exponente es $2$, queda $n^2$.
2) Factorización por agrupación
Se usa cuando no hay un factor común a todos los términos. Se agrupan términos que sí compartan factor, se factoriza cada grupo y aparece un nuevo factor común.
$$am + bm + a^2 + ab$$- $am + bm = m(a+b)$
- $a^2 + ab = a(a+b)$
Agrupar bien
$$bm + am + a^2 + ab \;\to\; bm + a(m + a + b)$$
Si los grupos no dejan un factor igual en los dos, no sirve. Por ejemplo:$$(bm + ab) + (am + a^2) = b(m+a) + a(m+a) = (m+a)(b+a)$$
no queda factorizado. Se reagrupa:
Ejemplos de la clase
3) $a^2 + a = a(a+1)$
4) $a^4 + a^3 - a^2 = a^2(a^2 + a - 1)$
5) $18x^5 + 30x^4 = (6x^4)(3x + 5)$
10) $4x^4 - 8x^3 + 12x^2 = 4x^2(x^2 - 2x + 3)$
11) $6x^2 - 6xy - 6x = 6x(x - y - 1)$
15) $93a^3x^2y - 62a^2x^3y^2 - 124a^2x = 31a^2x(3axy - 2x^2y^2 - 4)$
Nivel pro
$$x^3 + 2x^2 - x^2 - 2x = x^2(x+2) - x(x+2) = (x+2)(x^2 - x) = x(x+2)(x-1)$$Otra forma de verlo:
$$x^3 + x^2 - 2x = x(x^2 + x - 2)$$Cuidado con los signos
$$3 - 4 = -1 \qquad 4 - 3 = 1$$$$3 - 4 = -1\,(4 - 3) = -(4 - 3)$$Al sacar un signo negativo como factor, cambian los signos del paréntesis. Es lo que permite igualar factores como $(1 - 2y^2)$ y $(2y^2 - 1)$.
3) $2y^3 - 6ay^2 - y + 3a$
$$\begin{aligned} &= 2y^3 - y - 6ay^2 + 3a \\ &= y(2y^2 - 1) + 3a(-2y^2 + 1) \\ &= y(2y^2 - 1) - 3a(2y^2 - 1) \\ &= (2y^2 - 1)(y - 3a) \end{aligned}$$4) $4a^2x - 5a^2y + 15by - 12bx$
$$\begin{aligned} &= 4a^2x - 12bx - 5a^2y + 15by \\ &= 4x(a^2 - 3b) - 5y(a^2 - 3b) \\ &= (a^2 - 3b)(4x - 5y) \end{aligned}$$5) $3a - 2b - 2by^4 + 3ay^4$
$$\begin{aligned} &= -2b(1 + y^4) + 3a(1 + y^4) \\ &= (1 + y^4)(-2b + 3a) \end{aligned}$$6) $a^3 + a^2 + a + 1$
$$\begin{aligned} &= (a^3 + a^2) + (a + 1) \\ &= a^2(a+1) + 1(a+1) \\ &= (a+1)(a^2+1) \end{aligned}$$Actividad
Factoriza por agrupación:
$m^2 + mn + mx + nx$
$$= m(m+n) + x(m+n) = (m+n)(m+x)$$$3x^3 - x^2 + 3x - 1$
$$= x^2(3x - 1) + 1(3x - 1) = (3x - 1)(x^2 + 1)$$
Por revisar
El segundo ejercicio de la actividad se leía con dificultad en la foto pizarrón. Confirmar el enunciado.
Factor común (pendiente en el pizarrón): $3mn - 4m^2n + 8m$