Informática · FCA UNAM

Fundamentos de análisis cuantitativo · 14 oct 2026

Relacionado

Productos notables y Factorización

Productos notables

Área de un cuadrado:

$$A = x \cdot x = x^2$$

Volumen de un cubo:

$$V = x \cdot x \cdot x = x^3$$

Ejemplo: multiplicación de polinomios

$$ \begin{aligned} (3x^2 + 2x + 5)(4x + 2) &= 3x^2 \cdot 4x + 3x^2 \cdot 2 + 2x \cdot 4x + 2x \cdot 2 + 5x \cdot 4 + 5 \cdot 2 \\ &= 12x^{2+1} + 6x^2 + 8x^{1+1} + 4x + 20x + 10 \\ &= 12x^3 + \underbrace{6}_{\text{coef.}}x^2 + \underbrace{8}_{\text{coef.}}x^2 + 4x + 20x + 10 \\ &= 12x^3 + 14x^2 + 24x + 10 \end{aligned} $$

Se suman los términos semejantes sumando sus coeficientes.

Binomio de Newton

$$ \begin{aligned} &\textbf{1) Binomio de Newton} \\[6pt] &\text{Binomio al cuadrado:} \\ &(x+y)(x+y) = (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \\[6pt] &\text{Binomio al cubo:} \\ &(x+y)(x+y)(x+y) = (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \\[6pt] &\text{Potencias mayores:} \\ &(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y^1 + 6x^2y^2 + 4x^1y^3 + 1 \cdot y^4 \\ &(x+y)^5 = x^5 + 5x^4y^1 + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5x^1y^4 + 1 \cdot y^5 \\ &(x+y)^{10} = \;? \\[6pt] &\text{Los números } 1,\,5,\,10,\,10,\,5,\,1 \text{ que acompañan a cada término son los } \textbf{coeficientes binomiales}. \\[14pt] &\textbf{Procedimiento paso por paso} \text{ (ejemplo: } (x+y)^5 \text{)} \\[6pt] &\textbf{Paso 1. } \text{Cuenta los términos: siempre hay uno más que el exponente.} \\ &\qquad (x+y)^5 \;\Rightarrow\; 6 \text{ términos} \\[6pt] &\textbf{Paso 2. } \text{Exponentes de } x \text{: empiezan en } n \text{ y bajan de uno en uno hasta } 0. \\ &\qquad x^5,\; x^4,\; x^3,\; x^2,\; x^1,\; x^0 \\[6pt] &\textbf{Paso 3. } \text{Exponentes de } y \text{: empiezan en } 0 \text{ y suben de uno en uno hasta } n. \\ &\qquad y^0,\; y^1,\; y^2,\; y^3,\; y^4,\; y^5 \\[6pt] &\textbf{Paso 4. } \text{Comprueba: en cada término los exponentes suman } n. \\ &\qquad x^3y^2 \;\Rightarrow\; 3 + 2 = 5 \;\checkmark \\[6pt] &\textbf{Paso 5. } \text{Coeficientes: tómalos del renglón } n \text{ del triángulo de Pascal.} \\ &\qquad n = 5 \;\Rightarrow\; 1,\; 5,\; 10,\; 10,\; 5,\; 1 \\ &\qquad \text{Atajo: siguiente coeficiente} = \frac{\text{coeficiente actual} \times \text{exponente de } x}{\text{posición del siguiente término}} \\ &\qquad 5x^4y \;\Rightarrow\; \frac{5 \times 4}{2} = 10 \\[6pt] &\textbf{Paso 6. } \text{Junta coeficiente, potencia de } x \text{ y potencia de } y \text{, y suma:} \\ &\qquad (x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5 \\[14pt] &\textbf{Aplicado a } (x+y)^{10} \text{, con coeficientes } 1,\,10,\,45,\,120,\,210,\,252,\,210,\,120,\,45,\,10,\,1 \text{:} \\[6pt] &(x+y)^{10} = x^{10} + 10x^9y + 45x^8y^2 + 120x^7y^3 + 210x^6y^4 + 252x^5y^5 \\ &\qquad\qquad\;\; + 210x^4y^6 + 120x^3y^7 + 45x^2y^8 + 10xy^9 + y^{10} \end{aligned} $$

Triángulo de Pascal

$$ \begin{array}{c|ccccccccccccc} n=0 & & & & & & & 1 & & & & & & \\ n=1 & & & & & & 1 & & 1 & & & & & \\ n=2 & & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & \\ n=3 & & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & \\ n=4 & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & \\ n=5 & & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 & \\ n=6 & 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 \end{array} $$

Cada renglón da los coeficientes binomiales de $(x+y)^n$.

Exponente cero

$$\cancel{0^0 = 1} \qquad 0^0 \text{ no existe}$$


$$x^0 = 1, \quad x \neq 0$$


$$ \begin{aligned} &\textbf{Combinaciones} \\[6pt] &\textbf{Suma de Gauss:} \\ &1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 \\ &\text{Se suman los extremos por pares, y cada par da } 101\text{:} \\ &1 + 100 = 101, \quad 2 + 99 = 101, \quad 3 + 98 = 101, \quad 4 + 97 = 101, \;\ldots \\[4pt] &\frac{(100)(101)}{2} = \frac{100}{2}(101) = (50)(101) = 5050 \\[14pt] &\textbf{Problema de los saludos:} \\ &n = 29 \text{ personas} \\ &\text{¿Cuántos saludos se cuentan, si todos saludan a todos?} \\[6pt] &\text{Conjetura de Elena: } 29 \cdot 28 \\[6pt] &\text{Cada persona saluda a las otras } 28\text{. Si no repetimos saludos:} \\ &\quad \text{Persona 1 (E): } 28 \text{ saludos} \\ &\quad \text{Persona 2 (T): } 27 \text{ saludos nuevos} \\ &\quad \text{Persona 3 (A): } 26 \text{ saludos nuevos} \\ &\quad \;\vdots \\ &\quad \text{Persona 29: ya saludó a todos} \\[6pt] &28 + 27 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + \cdots + 2 + 1 = \frac{(28)(28+1)}{2} = \frac{(28)(29)}{2} = 406 \\[6pt] &\text{La conjetura } 29 \cdot 28 = 812 \text{ cuenta cada saludo dos veces (A saluda a B y B saluda a A),} \\ &\text{por eso se divide entre } 2\text{:} \quad \frac{29 \cdot 28}{2} = 406 \\[6pt] &\text{En general, para } n \text{ personas:} \quad \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} \end{aligned} $$


$$ \begin{aligned} &\textbf{Subconjuntos} \\[6pt] &\text{Un conjunto } B \text{ es subconjunto de } A \text{ si todos los elementos de } B \text{ están en } A\text{:} \quad B \subseteq A \\[6pt] &\text{Ejemplo:} \quad A = \{a,\, b,\, c\} \\[4pt] &\quad \text{0 elementos:} \quad \varnothing \\ &\quad \text{1 elemento:} \quad \{a\},\; \{b\},\; \{c\} \\ &\quad \text{2 elementos:} \quad \{a, b\},\; \{a, c\},\; \{b, c\} \\ &\quad \text{3 elementos:} \quad \{a, b, c\} \\[6pt] &\text{El conjunto vacío } \varnothing \text{ y el propio } A \text{ siempre son subconjuntos de } A. \\[14pt] &\textbf{Conjunto potencia} \\[6pt] &\text{Es el conjunto de todos los subconjuntos de } A\text{, y se escribe } \mathcal{P}(A)\text{:} \\[4pt] &\mathcal{P}(A) = \big\{ \varnothing,\; \{a\},\; \{b\},\; \{c\},\; \{a,b\},\; \{a,c\},\; \{b,c\},\; \{a,b,c\} \big\} \\[6pt] &\text{Si } A \text{ tiene } n \text{ elementos, entonces } \mathcal{P}(A) \text{ tiene } 2^n \text{ elementos:} \\ &\quad |\mathcal{P}(A)| = 2^3 = 8 \\[6pt] &\text{Cada elemento tiene 2 opciones (estar o no estar en el subconjunto): } 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 \\[6pt] &\text{Cantidad de subconjuntos por tamaño:} \quad 1,\; 3,\; 3,\; 1 \;\leftarrow\; \text{renglón } n = 3 \text{ del triángulo de Pascal} \\ &\quad 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3 \\[14pt] &\textbf{Notación de combinaciones} \\[6pt] &\text{Número de formas de elegir } k \text{ elementos de un conjunto de } n \text{ (sin importar el orden):} \\[4pt] &\binom{n}{k} = {}_nC_k = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \\[6pt] &\text{donde} \quad n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1, \qquad 0! = 1 \\[14pt] &\textbf{Combinaciones de 2 en un conjunto de 3} \\[6pt] &A = \{a,\, b,\, c\}, \quad n = 3, \quad k = 2 \\[6pt] &\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!\,(3-2)!} = \frac{3!}{2!\,1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(1)} = \frac{6}{2} = 3 \\[6pt] &\text{Las combinaciones son:} \quad \{a, b\},\; \{a, c\},\; \{b, c\} \\[6pt] &\{a, b\} \text{ y } \{b, a\} \text{ son la misma combinación, porque el orden no importa.} \\[14pt] &\textbf{Relación con lo anterior} \\[6pt] &\text{Renglón } n = 3 \text{ de Pascal:} \quad \binom{3}{0},\; \binom{3}{1},\; \binom{3}{2},\; \binom{3}{3} \;=\; 1,\; 3,\; 3,\; 1 \\[6pt] &\text{Problema de los saludos:} \quad \binom{29}{2} = \frac{29!}{2!\,27!} = \frac{29 \cdot 28}{2} = 406 \end{aligned} $$$$ \begin{aligned} &\textbf{Permutaciones} \\[6pt] &\text{Una permutación es un arreglo de elementos donde } \textbf{sí importa el orden}. \\ &\text{Por eso se escriben entre paréntesis: } (a, b) \neq (b, a) \\[14pt] &\textbf{Notación de permutaciones} \\[6pt] &\text{Número de formas de elegir y ordenar } k \text{ elementos de un conjunto de } n\text{:} \\[4pt] &P(n, k) = {}_nP_k = \frac{n!}{(n-k)!} \\[14pt] &\textbf{Ejemplo: permutaciones de 2 elementos en un conjunto de 3} \\[6pt] &A = \{a,\, b,\, c\}, \quad n = 3, \quad k = 2 \\[6pt] &\text{Se llenan 2 lugares, en orden:} \\ &\quad \text{1.}^{\text{er}} \text{ lugar: } 3 \text{ opciones } (a,\, b \text{ o } c) \\ &\quad \text{2.}^{\text{o}} \text{ lugar: } 2 \text{ opciones (las que quedan)} \\[4pt] &\quad 3 \cdot 2 = 6 \\[6pt] &\text{Con la fórmula:} \\[4pt] &P(3, 2) = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{1} = 6 \\[6pt] &\text{Las permutaciones son:} \\ &\quad \text{Empezando con } a\text{:} \quad (a, b),\; (a, c) \\ &\quad \text{Empezando con } b\text{:} \quad (b, a),\; (b, c) \\ &\quad \text{Empezando con } c\text{:} \quad (c, a),\; (c, b) \\[14pt] &\textbf{Permutaciones vs. combinaciones} \\[6pt] &\begin{array}{c|c} \text{Combinaciones } \binom{3}{2} = 3 & \text{Permutaciones } P(3,2) = 6 \\ \hline \{a, b\} & (a, b),\; (b, a) \\ \{a, c\} & (a, c),\; (c, a) \\ \{b, c\} & (b, c),\; (c, b) \end{array} \\[6pt] &\text{Cada combinación de 2 elementos se puede ordenar de } 2! = 2 \text{ formas:} \\[4pt] &P(n, k) = \binom{n}{k} \cdot k! \qquad \Rightarrow \qquad P(3, 2) = 3 \cdot 2! = 6 \end{aligned} $$


$$ \begin{aligned} &\textbf{Binomio de Newton} \\[6pt] &(x+y)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r}\, x^{\,n-r}\, y^{\,r} \\[14pt] &\textbf{¿Qué significa cada parte?} \\[6pt] &\quad \sum_{r=0}^{n} \;\rightarrow\; \text{se suman todos los términos, con } r = 0, 1, 2, \ldots, n \\[4pt] &\quad \binom{n}{r} = C(n, r) \;\rightarrow\; \text{coeficiente binomial (renglón } n \text{ de Pascal)} \\[4pt] &\quad x^{\,n-r} \;\rightarrow\; \text{el exponente de } x \text{ baja de } n \text{ hasta } 0 \\[4pt] &\quad y^{\,r} \;\rightarrow\; \text{el exponente de } y \text{ sube de } 0 \text{ hasta } n \\[14pt] &\textbf{¿Por qué aparecen combinaciones?} \\[6pt] &(x+y)^n = \underbrace{(x+y)(x+y)\cdots(x+y)}_{n \text{ factores}} \\[4pt] &\text{Al multiplicar, de cada factor se elige } x \text{ o } y\text{. Para obtener } x^{\,n-r}y^{\,r} \\ &\text{hay que elegir } y \text{ en } r \text{ de los } n \text{ factores, y eso se puede hacer de } \binom{n}{r} \text{ formas.} \\[14pt] &\textbf{Ejemplo: } n = 5 \\[6pt] &(x+y)^5 = \sum_{r=0}^{5} \binom{5}{r}\, x^{\,5-r}\, y^{\,r} \\[6pt] &\quad = \binom{5}{0}x^5y^0 + \binom{5}{1}x^4y^1 + \binom{5}{2}x^3y^2 + \binom{5}{3}x^2y^3 + \binom{5}{4}x^1y^4 + \binom{5}{5}x^0y^5 \\[6pt] &\text{Coeficientes:} \\[4pt] &\quad \binom{5}{0} = 1, \quad \binom{5}{1} = 5, \quad \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \\[4pt] &\quad \binom{5}{3} = 10, \quad \binom{5}{4} = 5, \quad \binom{5}{5} = 1 \\[6pt] &\quad = 1 \cdot x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + 1 \cdot y^5 \\[14pt] &\textbf{El mismo ejemplo con notación de combinaciones} \\[6pt] &C(n, r) = {}_nC_r = \frac{n!}{r!\,(n-r)!} \\[6pt] &(x+y)^5 = \sum_{r=0}^{5} C(5, r)\, x^{\,5-r}\, y^{\,r} \\[6pt] &\quad = C(5,0)\,x^5 + C(5,1)\,x^4y + C(5,2)\,x^3y^2 + C(5,3)\,x^2y^3 + C(5,4)\,xy^4 + C(5,5)\,y^5 \\[6pt] &\text{Cálculo de cada coeficiente:} \\[4pt] &\quad C(5,0) = \frac{5!}{0!\,5!} = 1 \\[4pt] &\quad C(5,1) = \frac{5!}{1!\,4!} = \frac{5}{1} = 5 \\[4pt] &\quad C(5,2) = \frac{5!}{2!\,3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \\[4pt] &\quad C(5,3) = \frac{5!}{3!\,2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \\[4pt] &\quad C(5,4) = \frac{5!}{4!\,1!} = \frac{5}{1} = 5 \\[4pt] &\quad C(5,5) = \frac{5!}{5!\,0!} = 1 \\[6pt] &(x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5 \end{aligned} $$$$ \begin{aligned} &\textbf{Ejemplo: desarrollar } (3x^2 + y^2)^6 \\[14pt] &\textbf{Paso 1. Identificar los elementos del binomio} \\[6pt] &\quad \text{Primer término: } 3x^2 \qquad \text{Segundo término: } y^2 \qquad n = 6 \\[6pt] &(3x^2 + y^2)^6 = \sum_{r=0}^{6} C(6, r)\, (3x^2)^{\,6-r}\, (y^2)^{\,r} \\[14pt] &\textbf{Paso 2. Simplificar las potencias} \\[6pt] &\text{Potencia de un producto: } (ab)^k = a^k b^k \qquad \text{Potencia de una potencia: } (a^m)^k = a^{m \cdot k} \\[4pt] &\quad (3x^2)^{\,6-r} = 3^{\,6-r}\, x^{\,2(6-r)} = 3^{\,6-r}\, x^{\,12-2r} \\[4pt] &\quad (y^2)^{\,r} = y^{\,2r} \\[6pt] &(3x^2 + y^2)^6 = \sum_{r=0}^{6} C(6, r)\, 3^{\,6-r}\, x^{\,12-2r}\, y^{\,2r} \\[14pt] &\textbf{Paso 3. Calcular los coeficientes binomiales} \\[6pt] &\quad C(6,0) = \frac{6!}{0!\,6!} = 1 \\[4pt] &\quad C(6,1) = \frac{6!}{1!\,5!} = \frac{6}{1} = 6 \\[4pt] &\quad C(6,2) = \frac{6!}{2!\,4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \\[4pt] &\quad C(6,3) = \frac{6!}{3!\,3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 \\[4pt] &\quad C(6,4) = \frac{6!}{4!\,2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \\[4pt] &\quad C(6,5) = \frac{6!}{5!\,1!} = \frac{6}{1} = 6 \\[4pt] &\quad C(6,6) = \frac{6!}{6!\,0!} = 1 \\[6pt] &\text{Coinciden con el renglón } n = 6 \text{ del triángulo de Pascal: } 1,\; 6,\; 15,\; 20,\; 15,\; 6,\; 1 \\[14pt] &\textbf{Paso 4. Calcular las potencias de 3} \\[6pt] &\quad 3^6 = 729, \quad 3^5 = 243, \quad 3^4 = 81, \quad 3^3 = 27, \quad 3^2 = 9, \quad 3^1 = 3, \quad 3^0 = 1 \\[14pt] &\textbf{Paso 5. Desarrollar término por término} \\[6pt] &\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} r & C(6,r) & 3^{\,6-r} & \text{Coeficiente final} & x^{\,12-2r} & y^{\,2r} & \text{Término} \\ \hline 0 & 1 & 729 & 1 \cdot 729 = 729 & x^{12} & y^{0} & 729x^{12} \\ 1 & 6 & 243 & 6 \cdot 243 = 1458 & x^{10} & y^{2} & 1458x^{10}y^{2} \\ 2 & 15 & 81 & 15 \cdot 81 = 1215 & x^{8} & y^{4} & 1215x^{8}y^{4} \\ 3 & 20 & 27 & 20 \cdot 27 = 540 & x^{6} & y^{6} & 540x^{6}y^{6} \\ 4 & 15 & 9 & 15 \cdot 9 = 135 & x^{4} & y^{8} & 135x^{4}y^{8} \\ 5 & 6 & 3 & 6 \cdot 3 = 18 & x^{2} & y^{10} & 18x^{2}y^{10} \\ 6 & 1 & 1 & 1 \cdot 1 = 1 & x^{0} & y^{12} & y^{12} \end{array} \\[14pt] &\textbf{Paso 6. Resultado} \\[6pt] &(3x^2 + y^2)^6 = 729x^{12} + 1458x^{10}y^{2} + 1215x^{8}y^{4} + 540x^{6}y^{6} + 135x^{4}y^{8} + 18x^{2}y^{10} + y^{12} \\[14pt] &\textbf{Comprobación} \text{ (con } x = 1,\; y = 1\text{):} \\[4pt] &\quad (3 + 1)^6 = 4^6 = 4096 \\[4pt] &\quad 729 + 1458 + 1215 + 540 + 135 + 18 + 1 = 4096 \;\checkmark \end{aligned} $$


$$ \begin{aligned} &\textbf{Ejemplo: desarrollar } (x - y)^6 \\[14pt] &\textbf{Paso 1. Reescribir la resta como suma} \\[6pt] &\quad x - y = x + (-1)y \\[4pt] &\quad \text{Primer término: } x \qquad \text{Segundo término: } (-1)y \qquad n = 6 \\[6pt] &(x - y)^6 = \big(x + (-1)y\big)^6 = \sum_{r=0}^{6} C(6, r)\, x^{\,6-r}\, \big((-1)y\big)^{\,r} \\[14pt] &\textbf{Paso 2. Simplificar las potencias} \\[6pt] &\text{Potencia de un producto: } (ab)^k = a^k b^k \\[4pt] &\quad \big((-1)y\big)^{\,r} = (-1)^{\,r}\, y^{\,r} \\[6pt] &(x - y)^6 = \sum_{r=0}^{6} C(6, r)\, (-1)^{\,r}\, x^{\,6-r}\, y^{\,r} \\[14pt] &\textbf{Paso 3. Calcular los coeficientes binomiales} \\[6pt] &\quad C(6,0) = 1, \quad C(6,1) = 6, \quad C(6,2) = 15, \quad C(6,3) = 20 \\[4pt] &\quad C(6,4) = 15, \quad C(6,5) = 6, \quad C(6,6) = 1 \\[6pt] &\text{(Renglón } n = 6 \text{ del triángulo de Pascal: } 1,\; 6,\; 15,\; 20,\; 15,\; 6,\; 1\text{)} \\[14pt] &\textbf{Paso 4. Calcular las potencias de } -1 \\[6pt] &\quad (-1)^{\text{par}} = +1 \qquad (-1)^{\text{impar}} = -1 \\[4pt] &\quad (-1)^0 = 1, \quad (-1)^1 = -1, \quad (-1)^2 = 1, \quad (-1)^3 = -1 \\[4pt] &\quad (-1)^4 = 1, \quad (-1)^5 = -1, \quad (-1)^6 = 1 \\[14pt] &\textbf{Paso 5. Desarrollar término por término} \\[6pt] &\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} r & C(6,r) & (-1)^{\,r} & \text{Coeficiente final} & x^{\,6-r} & y^{\,r} & \text{Término} \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \cdot 1 = 1 & x^{6} & y^{0} & x^{6} \\ 1 & 6 & -1 & 6 \cdot (-1) = -6 & x^{5} & y^{1} & -6x^{5}y \\ 2 & 15 & 1 & 15 \cdot 1 = 15 & x^{4} & y^{2} & 15x^{4}y^{2} \\ 3 & 20 & -1 & 20 \cdot (-1) = -20 & x^{3} & y^{3} & -20x^{3}y^{3} \\ 4 & 15 & 1 & 15 \cdot 1 = 15 & x^{2} & y^{4} & 15x^{2}y^{4} \\ 5 & 6 & -1 & 6 \cdot (-1) = -6 & x^{1} & y^{5} & -6xy^{5} \\ 6 & 1 & 1 & 1 \cdot 1 = 1 & x^{0} & y^{6} & y^{6} \end{array} \\[14pt] &\textbf{Paso 6. Resultado} \\[6pt] &(x - y)^6 = x^{6} - 6x^{5}y + 15x^{4}y^{2} - 20x^{3}y^{3} + 15x^{2}y^{4} - 6xy^{5} + y^{6} \\[6pt] &\text{Observa: los signos se alternan } (+,\, -,\, +,\, -,\, \ldots) \text{ porque } (-1)^r \text{ cambia de signo en cada término.} \\[14pt] &\textbf{Comprobación} \text{ (con } x = 1,\; y = 1\text{):} \\[4pt] &\quad (1 - 1)^6 = 0^6 = 0 \\[4pt] &\quad 1 - 6 + 15 - 20 + 15 - 6 + 1 = 0 \;\checkmark \end{aligned} $$

Tarea

#entrega-21-10-2026
Desarrolla los siguientes binomios.

$$ \begin{aligned} &\text{1)} \quad \left(a^2b + 2m^3\right)^4 \\[10pt] &\text{2)} \quad \left(\tfrac{1}{3}x - 5x^2\right)^5 \\[10pt] &\text{3)} \quad \left(a^2b^3c^4 + 2ab\right)^{10} \\[10pt] &\text{4)} \quad \left(x^3 + 2y\right)^7 \end{aligned} $$