Raices de números complejos

Teorema de De Moivre y Potencias de Binomios

Teorema: Si $z = r \operatorname{cis}(\theta)$ y $n \in \mathbb{Z}$, entonces

Ejemplos y Explicaciones

1. Cuadrado de un binomio: $(2+3i)^2$

• Fórmula utilizada: Binomio al cuadrado $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

• Propiedad clave: Se sustituye $i^2 = -1$ para simplificar el término independiente resultante ($9(-1) = -9$) y agrupar con la parte real.

2. Cubo de un binomio: $(2+3i)^3$

• Fórmula utilizada:

  • Expansión por producto previo: $(2+3i)^2 \cdot (2+3i) = (-5+12i)(2+3i)$.

  • Expansión por Binomio de Newton: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

• Propiedades clave: Se aplican las potencias de la unidad imaginaria, sabiendo que $i^2 = -1$ y $i^3 = -i$.

Referencia: Triángulo de Pascal (Coeficientes binomiales)

Para expandir potencias superiores de binomios (como el $(2+3i)^3$), los coeficientes $1, 3, 3, 1$ se obtienen del Triángulo de Pascal:

graph TD
    n0["1"] --> n1_0["1"]
    n0 --> n1_1["1"]
    
    n1_0 --> n2_0["1"]
    n1_0 --> n2_1["2"]
    n1_1 --> n2_1
    n1_1 --> n2_2["1"]
    
    n2_0 --> n3_0["1"]
    n2_0 --> n3_1["3"]
    n2_1 --> n3_1
    n2_1 --> n3_2["3"]
    n2_2 --> n3_2
    n2_2 --> n3_3["1"]

    classDef default fill:#f9f9f9,stroke:#333,stroke-width:1px;

(Fila 0: 1 | Fila 1: 1, 1 | Fila 2: 1, 2, 1 | Fila 3: 1, 3, 3, 1)

V3

Teorema de De Moivre y Potencias de Binomios

Teorema: Si $z = r \operatorname{cis}(\theta)$ y $n \in \mathbb{Z}$, entonces

Ejemplos y Explicaciones

Teorema de De Moivre y Potencias de Números Complejos

Teorema

Si $z = r \operatorname{cis}(\theta)$ y $n \in \mathbb{Z}$, entonces:

Triángulo de Pascal (Coeficientes Binomiales)

graph TD
    classDef default fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px;
    
    R0["1"] --> R1A["1"]
    R0 --> R1B["1"]
    
    R1A --> R2A["1"]
    R1A --> R2B["2"]
    R1B --> R2B
    R1B --> R2C["1"]
    
    R2A --> R3A["1"]
    R2A --> R3B["3"]
    R2B --> R3B
    R2B --> R3C["3"]
    R2C --> R3C
    R2C --> R3D["1"]

    R3A --> R4A["1"]
    R3A --> R4B["4"]
    R3B --> R4B
    R3B --> R4C["6"]
    R3C --> R4C
    R3C --> R4D["4"]
    R3D --> R4D
    R3D --> R4E["1"]

Actividad

Obtener

Números complejos en forma polar: productos, potencias y raíces

Notación: $\operatorname{cis}(\theta) = \cos(\theta) + i,\sin(\theta)$

Todo complejo $z = a + bi$ se puede escribir como $z = r,\operatorname{cis}(\theta)$, donde

1. Producto y cociente en forma polar

Teorema. Si $z_1 = r_1,\operatorname{cis}(\theta_1)$ y $z_2 = r_2,\operatorname{cis}(\theta_2)$, entonces

$$z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2,\operatorname{cis}(\theta_1 + \theta_2)$$

y

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2},\operatorname{cis}(\theta_1 - \theta_2), \qquad z_2 \neq 0$$

En palabras: al multiplicar se multiplican los módulos y se suman los ángulos; al dividir se dividen los módulos y se restan los ángulos.

Ejemplo

Sean $z_1 = 1 + i$ y $z_2 = i$. Determinar $z_1 z_2$ y $\dfrac{z_1}{z_2}$ usando dos métodos.

Método 1: usual (forma binómica)

Método 2: polar

Pasamos cada número a forma polar:

Producto:

donde

Cociente:

donde

Comprobación: $\sqrt{2},\operatorname{cis}!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left(-\tfrac{\sqrt2}{2} + \tfrac{\sqrt2}{2}i\right) = -1 + i$ ✓ y $\sqrt{2},\operatorname{cis}!\left(-\tfrac{\pi}{4}\right) = 1 - i$ ✓. Ambos métodos coinciden.

2. Potencias: Teorema de De Moivre

Teorema (De Moivre). Si $z = r,\operatorname{cis}(\theta)$ y $n \in \mathbb{Z}$, entonces

$$z^n = r^n,\operatorname{cis}(n\theta)$$

Antes de usarlo, veamos cómo se calculan potencias “a mano”.

Potencias de $i$ (útiles)

Binomio de Newton y triángulo de Pascal

Para desarrollar $(a+b)^n$ se usa el binomio de Newton:

Los coeficientes $\binom{n}{k}$ se leen del triángulo de Pascal (cada número es la suma de los dos que tiene encima):

Así:

Ejemplos con $z = 2 + 3i$

Cuadrado:

Cubo:

Cuarta potencia:

Décima potencia (aquí conviene De Moivre):

Forma polar de $2+3i$:

Entonces

⚠️ Corrección al pizarrón: ahí quedó $(\sqrt{13})^{10} = \sqrt[5]{13}$, pero $\left(13^{1/2}\right)^{10} = 13^{5} = 371,293$. El resultado exacto es $-341,525 - 145,668,i$ (se verifica multiplicando $(2+3i)^8 = -239 + 28,560i$ por $(2+3i)^2 = -5+12i$).

3. Raíces $n$-ésimas de un número complejo

Motivación: raíces en los reales

Pero $\sqrt[2]{-9},\ \sqrt[4]{-9},\ \sqrt[6]{-9}, \dots$ — es decir, raíces de índice par de números negativos — no existen en los reales. En los complejos sí existen, y de hecho hay exactamente $n$ raíces $n$-ésimas (también tiene sentido calcular, por ejemplo, $\sqrt{1+i}$).

Teorema. Si $z = r,\operatorname{cis}(\theta)$ y $n \in {2, 3, 4, 5, 6, \dots}$, entonces las $n$ raíces $n$-ésimas de $z$ son los números dados por la fórmula

$$w_k = \sqrt[n]{r};\operatorname{cis}!\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right), \qquad k = 0, 1, 2, \dots, n-1$$

Tabla: cómo se ve la fórmula según $n$

Ejemplo: obtener las 2 raíces cuadradas de $-1$

Buscamos

Equivale a resolver la ecuación $z^2 = -1$ (igual que en los reales $x^2 = -1 \Rightarrow x = \sqrt{-1}$, que no tiene solución real).

Solución. En forma polar, $-1 = 1\cdot\operatorname{cis}(\pi)$, así que $r = 1$, $\theta = \pi$, $n = 2$:

(Para leer los valores: $\cos\frac{\pi}{2} = 0,\ \sin\frac{\pi}{2} = 1$ y $\cos\frac{3\pi}{2} = 0,\ \sin\frac{3\pi}{2} = -1$.)

Comprobación: $i^2 = -1$ y $(-i)^2 = (-i)(-i) = i^2 = -1$ ✓

Las soluciones de la ecuación $z^2 = -1$ son $i$ y $-i$.

4. Actividad (continuación)

1. Obtener las 3 raíces cúbicas de $-1$ (resolver $z^3 = -1$).
2. Obtener las 4 raíces cuartas de $-1$ (resolver $z^4 = -1$).

Solución 1: $z^3 = -1$

$-1 = 1\cdot\operatorname{cis}(\pi)$, con $n = 3$:

Solución 2: $z^4 = -1$

$-1 = 1\cdot\operatorname{cis}(\pi)$, con $n = 4$:

Observación: las $n$ raíces siempre quedan sobre un círculo de radio $\sqrt[n]{r}$, separadas por ángulos iguales de $\dfrac{2\pi}{n}$ (180° para raíces cuadradas, 120° para cúbicas, 90° para cuartas).