Relacionado
- Tarea de esta clase: fac_tarea_07.
- Resumen de la forma polar: fac_cheatsheet_forma_polar y fac_cheatsheet_operaciones_polar.
Apunte de clase: Forma polar de un número complejo
Sistemas de ecuaciones con números complejos
Ejemplo: resolver el sistema
$$ \begin{aligned} i\,z_1+(8+i)\,z_2 &= -3+4i \\ (1+i)\,z_1-2i\,z_2 &= 0 \end{aligned} $$Se puede resolver con cualquier método visto en prepa: suma o resta, igualación, sustitución, gráfica, regla de Cramer e incluso eliminación gaussiana. Aquí se usa la regla de Cramer.
Regla de Cramer
$$ \Delta=\begin{vmatrix} i & 8+i \\ 1+i & -2i \end{vmatrix} =(i)(-2i)-(8+i)(1+i)=2-(8+8i+i-1)=2-(7+9i)=-5-9i $$$$ \Delta_{z_1}=\begin{vmatrix} -3+4i & 8+i \\ 0 & -2i \end{vmatrix} =(-3+4i)(-2i)-(0)(8+i)=6i+8=8+6i $$$$ \Delta_{z_2}=\begin{vmatrix} i & -3+4i \\ 1+i & 0 \end{vmatrix} =(i)(0)-(1+i)(-3+4i)=-(-3+4i-3i-4)=-(-7+i)=7-i $$Corrección de signo en el determinante
En la pizarra y en mi apunte original quedó $\Delta=-5+9i$, pero $2-(7+9i)=-5-9i$. Con el signo correcto cambian las soluciones; se comprueban sustituyendo en las dos ecuaciones.
Para dividir complejos se multiplica por el conjugado del denominador, aquí $-5+9i$:
$$ z_1 = \frac{\Delta_{z_1}}{\Delta} = \frac{8+6i}{-5-9i}\cdot\frac{-5+9i}{-5+9i} = \frac{(8+6i)(-5+9i)}{(-5)^2+(9)^2} = \frac{-40+72i-30i-54}{106} = \frac{-94+42i}{106} $$$$ z_2 = \frac{\Delta_{z_2}}{\Delta} = \frac{7-i}{-5-9i}\cdot\frac{-5+9i}{-5+9i} = \frac{(7-i)(-5+9i)}{106} = \frac{-35+63i+5i+9}{106} = \frac{-26+68i}{106} $$Conclusiones: las soluciones del sistema son
$$ z_1 = \frac{-94}{106}+\frac{42}{106}i = -\frac{47}{53}+\frac{21}{53}i \approx -0.8868+0.3962i $$$$ z_2 = \frac{-26}{106}+\frac{68}{106}i = -\frac{13}{53}+\frac{34}{53}i \approx -0.2453+0.6415i $$Comprobación
En la segunda ecuación: $(1+i)z_1=\frac{-136-52i}{106}=2i\,z_2$, de modo que $(1+i)z_1-2iz_2=0$. En la primera: $i z_1+(8+i)z_2=\frac{-318+424i}{106}=-3+4i$.
2. Forma polar de un número complejo
Plano cartesiano
Plano complejo $\mathbb{C}$
$$ z = x + iy = (x, y) \qquad i = (0,1) $$Un número complejo se identifica con un punto del plano: la parte real va en el eje real (X) y la parte imaginaria en el eje imaginario (Y). Por ejemplo:
$$ -3 + 2i = (-3, 2) $$
Deducción de la forma polar
Por el teorema de Pitágoras:
$$ |z|^2 = x^2 + y^2 $$Por trigonometría en el triángulo:
$$ \operatorname{sen}(\theta) = \frac{\text{cat. op.}}{h} = \frac{y}{|z|} \qquad \cos(\theta) = \frac{\text{cat. ady.}}{h} = \frac{x}{|z|} $$Entonces, por lo tanto:
$$ \operatorname{sen}(\theta) = \frac{y}{|z|} \;\Rightarrow\; y = |z|\operatorname{sen}(\theta) \qquad \cos(\theta) = \frac{x}{|z|} \;\Rightarrow\; x = |z|\cos(\theta) $$Sustituyendo en $z = x+iy$:
$$ z = x + iy = |z|\cos(\theta) + i\,|z|\operatorname{sen}(\theta) $$Factorizando $|z|$ (lo que está encerrado en rojo en la pizarra):
$$ z = x + iy = |z|\bigl(\cos(\theta) + i\operatorname{sen}(\theta)\bigr) $$$$ \boxed{z = |z|\,\operatorname{cis}(\theta)} \qquad \text{Forma polar del número complejo} $$donde $\operatorname{cis}(\theta)$ es una abreviatura de $\cos(\theta)+i\operatorname{sen}(\theta)$, y
$$ |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \text{es el módulo de } z $$Interpretación
La forma polar describe al número por su distancia al origen ($|z|$) y su dirección ($\theta$, el argumento), en lugar de por sus coordenadas $(x,y)$.
3. Nota didáctica: los ángulos se miden en radianes
$$ \begin{aligned} \pi \text{ radianes} &= 180^\circ \\ \frac{\pi}{2} \text{ radianes} &= 90^\circ \\ \frac{\pi}{4}\, r &= 45^\circ \\ \frac{\pi}{6}\, r &= 30^\circ \\ \frac{\pi}{3}\, r &= 60^\circ \\ \frac{3}{2}\pi\, r &= 270^\circ \end{aligned} $$Radianes a grados (regla de tres)
$$ \begin{array}{c|c} \text{Radianes} & \text{grados} \\ \hline \pi \;\searrow & \swarrow\; 180^\circ \\ 1 \;\nearrow & \nwarrow\; x \end{array} \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1\cdot 180}{\pi} $$$$ x = \frac{180}{\pi} = 57^\circ\, 17'\, 44.81'' $$Grados a radianes (regla de tres)
$$ \begin{array}{c|c} \text{Radianes} & \text{grados} \\ \hline \pi \;\searrow & \swarrow\; 180^\circ \\ x \;\nearrow & \nwarrow\; 1 \end{array} \quad\Rightarrow\quad x = \frac{\pi\cdot 1}{180^\circ} = 0.017453 $$Unidades
En la pizarra este último resultado aparece con el símbolo de grados, pero son radianes: $1^\circ \approx 0.017453$ rad. Fórmulas generales: $\text{rad} = \text{grados}\cdot\frac{\pi}{180}$ y $\text{grados} = \text{rad}\cdot\frac{180}{\pi}$. Si usas calculadora, ponla en modo radianes.
¿Y cómo obtengo el argumento?
$$ \theta = \tan^{-1}\!\left(\frac{y}{x}\right) $$Sale de dividir las dos relaciones anteriores: $\tan(\theta)=\dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}=\dfrac{y}{x}$.
Cuadrantes
$\tan^{-1}$ solo devuelve ángulos entre $-\frac{\pi}{2}$ y $\frac{\pi}{2}$, así que hay que revisar en qué cuadrante está el punto:
Caso Argumento $x>0$ $\theta=\tan^{-1}(y/x)$ $x<0$ $\theta=\tan^{-1}(y/x)+\pi$ $x=0,\ y>0$ $\theta=\frac{\pi}{2}$ $x=0,\ y<0$ $\theta=-\frac{\pi}{2}$ (o $\frac{3\pi}{2}$) Los argumentos que difieren en $2\pi$ representan el mismo número.
4. Ejemplos
Calcula la forma polar de los números siguientes:
a) $1+i$ b) $1$ c) $i$ d) $3-8i$
a) $1+i$
$$ |1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} \approx 1.4142 $$$$ \theta = \tan^{-1}\!\left(\frac{1}{1}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \approx 0.7853981634 $$Con $z = |z|\operatorname{cis}(\theta)$:
$$ 1+i = \sqrt{2}\,\operatorname{cis}\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}\right) $$Un mismo número se puede escribir de tres formas:
| Forma | Expresión |
|---|---|
| Algebraica | $(1,1) = 1+i$ |
| Polar | $\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}\right)$ |
| Geométrica | el vector en el plano (esquema) |
ESQUEMA (forma geométrica)
Vector $1+i$ en el plano complejo, con el ángulo $\frac{\pi}{4}$ marcado respecto al eje real.
Nota de la pizarra: $1+i = 1 + 1\cdot i$ (forma algebraica $a+b\,i$ con $a=b=1$). Vocabulario: degree = grado.
¿Es correcto? Se comprueba pasando de polar a algebraica, con $\cos\frac{\pi}{4}=\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$$ \begin{aligned} 1+i &= \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ &= \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2} + i\,\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{2}{2} + i\,\frac{2}{2} \\ &= 1 + i\cdot 1 \\ &= 1 + i \end{aligned} $$b) $1$
$$ z = 1 = 1 + 0\cdot i $$$$ |1| = \sqrt{1^2+0^2} = \sqrt{1} = 1 $$$$ \theta = \tan^{-1}\!\left(\frac{0}{1}\right) = \tan^{-1}(0) = 0 $$ESQUEMA
Plano complejo con el punto $1$ sobre el eje real.
Por lo tanto $1 = 1\cdot\operatorname{cis}(0) = \cos 0 + i\operatorname{sen} 0$.
c) $i$
$$ z = i = 0 + 1\cdot i \qquad |i| = \sqrt{0^2+1^2} = \sqrt{1} = 1 $$Aquí $x=0$, así que $\tan^{-1}\!\left(\frac{1}{0}\right)$ no se puede calcular; por la tabla de cuadrantes, $\theta=\frac{\pi}{2}$:
$$ i = 1\cdot\operatorname{cis}\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\frac{\pi}{2} + i\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} $$d) $3-8i$
$$ |3-8i| = \sqrt{3^2+(-8)^2} = \sqrt{73} \approx 8.544 \qquad \theta = \tan^{-1}\!\left(\frac{-8}{3}\right) \approx -1.2120 \text{ rad} $$Como $x=3>0$, el punto está en el cuarto cuadrante y $\tan^{-1}$ da directamente el ángulo. El mismo ángulo se puede expresar de varias formas equivalentes:
$$ \begin{aligned} 3-8i &= \sqrt{73}\,\bigl(\cos(5.0711) + i\operatorname{sen}(5.0711)\bigr) \\ &= \sqrt{73}\,\bigl(\cos(290.56^\circ) + i\operatorname{sen}(290.56^\circ)\bigr) \\ &= \sqrt{73}\,\bigl(\cos(-1.2120) + i\operatorname{sen}(-1.2120)\bigr) \\ &= \sqrt{73}\,\bigl(\cos(-69.44^\circ) + i\operatorname{sen}(-69.44^\circ)\bigr) \end{aligned} $$¿Por qué hay dos ángulos?
$-1.2120$ rad $=-69.44^\circ$ y $5.0711$ rad $=290.56^\circ$ difieren en una vuelta completa: $-1.2120+2\pi\approx 5.0712$ (la pizarra trunca a $5.0711$). Las dos son correctas: $5.0711$ está en $[0,2\pi)$ y $-1.2120$ en $(-\pi,\pi]$.La forma polar no es única: sumar $2\pi$ al argumento da el mismo número, porque seno y coseno son periódicos. Por ejemplo, $\operatorname{sen}(4)=\operatorname{sen}(4+2\pi)\approx-0.7568$ y $\cos(4)=\cos(4+2\pi)\approx-0.6536$, así que
$3-8i=\sqrt{73}\,\bigl(\cos(5.0711+2\pi)+i\operatorname{sen}(5.0711+2\pi)\bigr)$ también es válido.
5. Complemento de la actividad para el sábado
2) Construir la forma polar de los siguientes números complejos.
- 2.1) $z = 2+3i$
- 2.2) $z = -2$
- 2.3) $z = -2+3i$
- 2.4) $z = 2-3i$
- 2.5) $z = -i$
Pistas
Para cada uno: (1) calcula $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$; (2) ubica el cuadrante; (3) calcula $\theta$ con la tabla de cuadrantes de la sección 3 (2.2, 2.3 y 2.5 necesitan ojo especial: $x<0$ o $x=0$); (4) escribe $z=|z|\operatorname{cis}(\theta)$ y compruébalo pasando a forma algebraica, como en el ejemplo a).